Harmonická statika

Základní tón

Souzvuk

Souzvuk je souznění 2 a více tónů. Mezi každými dvěma tóny můžeme změřit jejich vzdálenost. Obecně je souzvuk n-tónů (n-zvuk) složen z N = n∙(n–1)/2 intervalů (vazeb).
Např. 2-zvuk z jednoho, 3-zvuk ze tří a 4-zvuk ze šesti intervalů.

Idealizovaný souzvuk - ke každému tónu všechny slyšitelné oktávy - ale nikoli alikvotní, rozdílové tóny (?)

Tónová uskupení

Souzvuk, který abstrahuje od oktávové identity  nazveme formální souzvuk.  

Např. formální souzvuk [c,e,g] zastupuje souzvuk [e₁,g₁,c₂] i souzvuk [c₁,g₁,c₂,e₂ g₂], obecně jakékoliv souznění složené z tónů c1,c2,...,e1,e2,...,g1,g2,...

Formální souzvuk je podmnožinou tónů formální soustavy a reprezentantem všech souzvuků, které mají tutéž formální strukturu.

Protože velkou část textu věnujeme právě jen formálním vztahům, budeme (pokud nebude na přesnosti definice záležet) mluvit obecně o souzvucích nebo tónových uskupeních.

Charakteristiky souzvuků

Dur a moll kvintakord mají stejné hodnoty spojitosti i impulzu:

C = (c₁₊ c₂ )/3     I = (i₃+i₄…)/3

Je-li dána matice spojitosti C (resp matice absolutních hodnot |C|) a matice impulzu I  pak jsou charakteristiky souzvuku ur čeny vztahy: 

C(u)=u∙|C|∙u   I(u) = u ∙ I ∙ u

kde u představuje binární strukturu (vektor) souzvuku.

Základní tón

Tón je považován za základní tón nějakého souzvuku, pokud vynikne ze všech tónů nejvíce do popředí, resp. bude s největší pravděpodobností člověkem k souzvuku zazpíván.

Podle K.Risingera, je základním tónem takový tón, který necítíme závislým na jiném (reálném nebo imaginárním) tónu. Izolovaný tón má tendenci k základnosti, jiné tóny tuto tendenci podporují nebo ruší. Prof. Risinger dále popisuje podmínky určující "závislost" tónů. (Z těchto podmínek dále odvodíme hodnoty spojitosti.)

 Tón s největší energií pásma nemusí být nutně tónem s největší akustickou energií. Jde o tón, který více energie získá - tj. o tón pokud možno hlubší, do kterého vede co nejvíce vazeb spojitosti.

Základní tón daného souzvuku je tón,  jemuž odpovídá pásmo s největší základností, tj. skutečnou energií pásma. Základnost – pravděpodobnost, že tón bude označen za základní.

 (Tato energie nezávisí na modalitě a jejích formálních potenciálech.)

Základní je takový tón, který co nejvíce energie přijme a zároveň co nejméně odevzdá.

Základní tón je tón odpovídající pásmu s maximální energií. Předává jiným tónům malé množství energie a velké množství energie přijímá.

Tón s E =max(Ei), tón, kterého ostatní tóny podporují;

Např. oba tóny {g,e} akordu [c,e,g] posílají část své energie tónu {c}. Tón {c} se stává základním tónem akordu [c,e,g].

Souzvuk může mít více než jeden základní tón. (Ale v případě, že všechna pásma mají tutéž energii, nemá žádný základní tón). Souzvuk může mít také imaginární základní tón, t.j. základní tón mimo tóny souzvuk.
Např. souzvuk [e,f,g] má imaginární základní tón {c}. Oba tóny {e,g} předávají energii do {c} a tón {c} není rušen ani jedním znějícím tónem. Impulzní vazby e-f a f-g ruší všechny tóny souzvuk [e,f,g].

Základní tón bývá definován nejrůznějším způsobem. K pochopení různých možných pojetí rozlišíme následující typy základních tónů:

Vnitřní –  součást znějícího souzvuku

Modální – součást znějící modality (nemusí být obsažen v souzvuku)

Soustavový – součást  tónové soustavy (může být mimo modalitu)

Akustický – může být mimo tónovou soustavu.

základnosti  zi=1; entropie: w =–i zi log zi

- energie  E =  Q +  W ( vstupní  E tóny, výstupní  Q - pásma,  W - vazby

(+entropie struktury).

Když má akord ostře definovaný základní tón, má také nízkou entropii a kladný rod (viz dále).

Sonantnost a rod

Působení souzvuků

K určení přibližného působení souzvuků může sloužit rozdíl hodnot spojitosti a impulzu  P = C –I.

Hodnota spojitosti spíše zvyšuje a hodnota impulzu snižuje libozvučnost souzvuku.

Obdobně pracuje s charakteristikami konsonance akordů K.Janeček [Janeček].

- souzvuky se nějak liší svým působením àvlastnost-sonantnost

- míra vnitřního klidu souzvuku (x vnější klid- potenciál )

- konsonance - uspořádanost umožňuje systému v daném stavu přetrvávat déle - velký výskyt v skladbách ( klasických).

- x5+ - nedissonuje v důsledku frekvenčních poměrů, ale pro

relace svých tón. kvalit (?)

 - existují jen v rámci soustavy, modality, v jiné modalitě mohou působit i

zcela opačně ! => odvození z potenciálů

- schopnost souzvuku působit za určitých okolností bezpocitu napětí ( akord

dissonantní může být v kontextu konsonantní ? )

- přibíráním kons. složek se dissonance tlumí

Polarita dur a moll

Rozložení vazeb v trojzvuku dur a moll se liší:

Mluvíme o uspořádanosti maxima a minima. Tuto uspořádanost nazýváme rodovost.

Konsonance dur souzvuku CEG je tvořena dvěma vazbami spojitosti k tónu C (EC a GC).

Mollový souzvuk CEbG je konsonantní, protože je podobný mollové tercii. Tón G ztrácí mnoho energie prostřednictvím dvou vazeb spojitosti z tónu G (GC a GEb).

Durový i mollový souzvuk zní dobře v úzké poloze, protože obě vazby spojitosti směřují dolů. Vzhledem ke skutečnosti, že znění durového souzuku se nezhorší snížením tónu C (do nižší oktávy) nabízí se domněnka, že totéž platí i pro zvýšení tónu G v souzvuku mollovém.

Rod

Rod uskupení tónů závisí na rozdělení energie mezi pásmy. Je vlastností nejlépe uspořádaných souzvuk.
Kladný rod odpovídá uskupení s význačným maximem (I.), záporný rod uskupení s význačným minimem (II.).

Jednoduchý algoritmus k určení přibližného rodu (rodovosti). Nechť t je tón souzvuku  s největším (neorientovaným) potenciálem.Pak rod G souzvuk je:   

G(u) = Ep(t) ∙ signum(Er(t)), kde signum() je funkce navracející –1,0 nebo +1.

Přerozdělení energie

Označme E(u,i) energii tónu i v souzvuk u. Předpokládáme dva druhy potenciální energie - energii neorientovanou Ep a směrovou (základní) energii Er.
Uvažujme následující vztahy:
  Ep(u,i) = ∑(|C(h(i,j))|,j) – ∑(I(h(i,j)),j)
  Er(i,u) = ∑(C(h(i,j)),j) – ∑(I(h(i,j)),j)
kde h(i,j) is formální vzdálenost (interval) tónů i,j; C je spojitost, I impulz.
Tedy vektory energie E(u) všech tónů jsou:
  Ep(u) = u.(|C|–P),  Er(u) = u.(C–P), C je matice spojitosti, I je matice impulzu.

Oba souzvuky mají základní tón c, [9], který je v případě dur trojzvuku (E=+6) poněkud výraznějšínež v případě moll (E=+4).

Trojzvuk dur má extrémní hodnotu základnosti kladnou (E=+6) zatímco trujzvuk moll zápornou(E=–6).

Jasnost dur tkví v extrémně vysoké základnosti tónu c, zatímco zastřennost moll v extrémně nízké základnosti tónu g, přičemž entropie (disonance) obou útvarů je přibližně táž.

Inverzní souzvuky

Souzvuk je inverzí daného souzvuku jestliže má stejnou intervalovou strukturu v opačném pořadí. Např. akord Hmi⁷ je inverzí akord G⁷:

    Počet jednotlivých intervalů (0-6):
            0  1  2  3  4  5  6 
    ----------------------------
    G7     4  0  2  4  2  2  2
    Hmi7   4  0  2  4  2  2  2 

    g  h  d  f          a  f  d  h
    -------------       --------------
    2  6  3  0  f       2  6  3  0  h
    5  3  0  3  d       5  3  0  3  d
    4  0  3  6  h       4  0  3  6  f
    0  4  5  2  g       0  4  5  2  a 

Tok energie je (ve formálním systému) stejný v daném souzvuku i jeho inverzi. To nám pomáhá sledovat charakteristiky souzvuků (zákl.tón, entropii,..).

Inverzní intervaly:
1(11)-11(1); 2(10)- 10(2); 3(9) - 9(3); 4( 8)- 8(4); 5( 7)- 7(5);

Inverzní trojzvuky:
12(9) - 21(9); 13(8) - 31(8); 14(7) - 41(7); 15(6) - 51(6); 23(7) -¨32(7);
24(6) - 42(6); 34(5) - 43(5);

- inverzní souzvuky - stejná míra dissonance, ale neužívány stejnoměrně

Hudební entropie

Pojem entropie pochází z fyziky a znamená míru neuspořádanosti. Uvažujme dvě nádoby - jednu s horkou, druhou se studenou vodou. Jde o uspořádaný stav - víme, že všechny rychlejší molekuly jsou v nádobě s teplou vodou, zatímco všechny pomalejší molekuly v druhé nádobě. V okamžiku, kdy vodu promícháme, vznikne nepořádek a entropie soustavy se zvýší.

Energie a entropie

Energie E = Q + W - vstupní E - tóny, - výstupní Q - pásma ( potenciály ) W - vazby. Vyznění souzvuku čerpá energii ze W. Na větší entropii je třeba více energie w- W. Pásma mají q∙t; vazby odebírají w∙t. Entropie ze součtu rušení od všech rázů mezi alikvoty (Knopoff, Hutchinson).

Definice entropie

Matematicky je entropie definována vztahem (pro i=1..k, ∑ p_i=1

 H = –∑(p_i∙log(p_i)) 

Tento vztah se používá také v informační teorii. V následujících příkladech budeme počítat s přirozeným logaritmem (základu e).

Mějme dva jevy s přibližně stejnými charakteristikami, např. 0.45 a 0.55.

Pak

H = – (0.45 log 0.45+ 0.55 log 0.55) = 0.688

Nejsme schopni rozlišit, který jev je vhodnější či významější, entropie je vyšší (umíráme hlady, protože si nejsme schopni vybrat jídlo,...) V opačném případě, jestliže máme dva jevy s charakteristikami např. 0.9 a 0.1,.., víme jistě, co si vybrat a entropie je nízká:

    H = – (0.9 log 0.9+ 0.1 log 0.1) = 0.325

Entropie souzvuku

Míra neuspořádanosti, entropie souzvuku (disonantnost) závisí na rozložení energie mezi pásmy. Nejmenší je u souzvuků se základním tónem a největší při vyrovnané základnosti všech tónů.

U nejlépe uspořádaných uskupení tónů pozorujeme ještě tzv. rodovost . Dva póly rodovosti odpovídají dvěma typům uspořádání; uspořádání s význačným maximem odpovídá kladný rod, uspořádání s význačným minimem rod záporný.

Entropie souzvuku závisí na rozdělení energie mezi pásmy. Maximální je entropie v případě, kdy energie všech tónů jsou vyrovnány. Entropie je proto podobná nejistotě v určení základního tónu. Termínu 'entropie' užíváme jako synonyma pro 'množství disonance'. Konsonantní akordy mají malou entropii, disonantní akordy entropii vysokou.

Nedokonalost konsonance zvětšeného trojzvuku ceg#, [6]Základnosti tohoto trojzvuku jsou vyrovnané. Vyšší entropie by mohla být příčinou nedokonalé konsonance zvětšeného souzvuku.

Vliv intenzity tónů

Úvahy o základnosti tónu se obvykle vztahují na tóny se stejnou intenzitou.

Uvažujme nyní, jak by mohla síla zvuku ovlivnit základnost jednotlivých tónů souzvuku. Předpokládejme, že spojitost c1 přemísťuje 50% a c2 25% celkov é produkce energie, tj. výkonu [Wattů ]. Nechť mollový trojzvuk A,C,E je rozezněn s rozdělením energie A(20%),C(20%),E(60%), tj. např. při celkovém výkonu  100 mW zní A(20mW),C(20mW),E(60mW).

Protože 50% energie E putuje k A (Eà A) a 25% energie E jde k C dostaneme (po přerozdělení, které nastane v okamžiku přijetí tónu sluchem):

E 60mW –(50% z 60mW) –(25% z 60mW)  = 60mW–30mW–15mW  = 15mW
C 20mW                +(25% z 60mW)  = 20mW     +15mW  = 35mW 
A 20mW +(50% z 60mW)                 = 20mW+30mW       = 50mW

Tón A se stává základním tónem A-C-E. Při počátečním rozdělení A(20mW), C(40mW), E(40mW) se ale základním tónem stáne tón C:

E 40mW –(50% z 40mW) –(25% z 40mW)  = 40mW–20mW–10mW  = 15mW
C 40mW                +(25% z 40mW)  = 40mW     +10mW  = 50mW 
A 20mW +(50% z 40mW)                 = 20mW+20mW       = 40mW

Tón E připomíná v těchto příkladech konev, která má v dolní části dva otvory

(k tónu A a k tónu C). Produkce tónu E odpovídá přilévání vody do této konve.

(Se spojitostí je vázána další otázka. Při znění souzvuku CFG. tón G podává část energie tónu C. Předá tón C také část této nové energie tónu F?!)

Sonantnost a informační hodnota souznění

Obdobně jako o energii vody můžeme přemýšlet o energii tónů v pásmech. Při vyrovnání energie tónů entropie roste.

Jestliže definujeme základnost jako pravděpodobnost, že tón bude určen jako základní, pak entropii můžeme považovat za míru dizonance souzvuku. Konsonantní intervaly i akordy musí mít velmi silný základní tón.

Informace je množství něčeho (energie), co odstraní danou neurčitost.  

odvozováno z neuspořádanosti systemu

 - základnosti  zi=1,  pravděpodobnost s jakou jev ( určení zákl. tónu ) nastane zi

 - informace obsažená v jevu(?) Ii= ln zi

 - entropie, míra neuspořádanosti:  w =–i zi Ii=–i zi log2zi = –log2e  ziln zi

 - informační tok i = I/t – w/t  - redundance - kolik % zbývá k dosažení totální dissonance; konsonance - uspořádanost umožňuje systému v daném stavupřetrvávat déle à velký výskyt v skladbách ( klasických).

Sonantnost a termodynamika

Uspořádání - počet uskupení prvků, které z vně vypadají stejně je málo (nízký počet transpozic druhu) à (pořádek je jen jeden, nepořádků spousta)

- informace - počet možných transpozic (druhu) sdělení ! - T=0 - w=0 (vše dokonale uspořádáno) Při dodání tepla dQ systemu s teplotou T vzroste w systemu o dw=dQ/T (?)T=0,...

Harmonické a rozdílové tóny

K přesnému stanovení základního tónu bychom měli počítat jak s harmonickými tak také s rozdílovými tóny. Např. u souzvuku C-Eb-B přichází v úvahu základní tón Ab. K tónu As vedou 2 vazby spojitosti Eb => Ab a C => Ab. Můžeme ale říci, že malá tercie C-Eb má (imaginární) základní tón Ab? (To závisí na přesné definici základního tónu, kterou ale nemáme.) Podle prof.Janečka je vždy obtížné nutit posluchače k porozumění např. tónu F jako základu malé tercie A-C, když tón F nezní. Základ F = nsd(880 Hz,1056 Hz) = 176 Hz = 704 Hz/4 je dvě oktávy pod danými tóny.

Formální rezonance

Základní definice

Nechť f2/f1= n2/n1, kde n1,n2 ε N (celá čísla) a nechť q=f2/n2=f1/n1.

Základní frekvence f0 je definována:
f0=q*n0, kde n0=nsd(n1,n2), nsd je největší společný dělitel.
Dané tóny (f1,f2) jsou alikvoty základního tónu (f0).
Společná frekvence f je definována:
f=q*n, kde n=nsn(n1,n2); nsn je nejmenší společný násobek.

Nechť frekvenční poměry daného souzvuku jsou f1/f2/f3,... = n1/n2/n3,..., kde n1,n2,...ε N (malá celá čísla).
Nejmenší společný násobek všech čísel n(i) nazveme resonanční charakteristikou n souzvuku ,
n = nsn(n1,n2,n3,...).

Nechť formální perioda r=r(n) je přirozená perioda čísla n bez prvočísla 2 v rozkladu (oktávová identita).

Formální rezonance intervalů

V následující tabulce jsou rezonanční charakteristiky n a jejich formální periody r:

Jestliže cítíme např. interval 5/4 jako konsonantní, pak "rozumíme" prvočíslu 5.
Číslo 4=2*2 vnímáme "automaticky" (oktávová identita).

Všechny (formální) intervaly 12-ti tónové soustavy:

Podle této tabulky má půltón stejnou formální periodu (15) jako malá tercie. Největší formální periodu (35) má tritonus.

Disonance půltónu je důsledkem impulzní charakteristiky tohoto intervalu.

Formální rezonance souzvuků

Poměry tří vybraných trojzvuků:

  Dur [c,e,g]                Moll [c,eb,g]             Zvětšený [c,e,g#]
  n1/n2/n3 = 2/3/5           n1/n2/n3 = 6/10/15        n1/n2/n3 = 1/5/25
-------------------------------------------------------------------------
   f2= 3                       f3=15                      f3=25
       g                          g                         g#
     3    3                     3    5                    1    5
   1        5                 1        1                5        1
 c            e             c            eb            c           e
    1    5                      5    3                    1    5
f1= 2      f3= 5            f2=10      f1=6            f1=1     f2=5
-------------------------------------------------------------------------
n=lcm(2,3,5)=30            n=lcm(6,10,15)=30          n=lcm(1,5,25)=25
r=r(30)=15                 r=r(30)=15                 r=r(25)=5

Dur a moll souzvuk mají tutéž formální periodu (15). Zvětšený trojzvuk má formální periodu nižší (5). Jestliže jej cítíme disonantnější než dur či moll trojzvuk, je to proto, že nedokážeme redukovat 5² na 5 ("exponenciální identita").

Eulerova teorie

Nechť racionální číslo qεQ má prvočíselný rozklad:
q = součin(p(j)^a(j)), p(j)εP (prvočísla), a(j)εZ (celá čísla).

"Gradus suavitatis" (stupeň libozvučnosti ) q je:
G(q) = 1 + a(1)*(p1-1) + a(2)*(p2-1) +.... + a(n)*(pn-1).

Jednoduchá oktáva (2¹) neovlivňuje výsledek výpočtů (1*(2-1)=1), ale oktávová identita jako celek není vyňata.

Někteří teoretikové (J.Jeans, J.Volek,..) kritizovali Eulerovu theorii konsonance.
Namítali např., že souzvuk (f,a,c,e) má tutéž charakteristiku jako souzvuk (f,a,c,f).

Přirozená perioda těchto souzvuků je také stejná:
n(f,a,c,f) = nsn(4,5,6,8) = 120
n(f,a,c,e) = nsn(8,10,12,15) = 120
r(f,a,c,f) = r(f,a,c,e) = r(120) = r(2³*3*5) = 15

Disonance souzvuku (f,a,c,e) je způsobena impulzní charakteristikou intervalu e-f.