Hudební vnímání

Fyzikální svět - akustika

Pýthagorás ze Samu

Periodický pohyb

Mnoho dějů v přírodě probíhá periodicky – pravidelně nastupuje příliv a odliv, kolísá Sluneční aktivita, opakují se polohy Měsíce a planet, elektrony kmitají kolem jader atomů,… Periodický pohyb má dvě základní charakteristiky – frekvenci f a amplitudu A. Frekvence udává počet kmitů za sekundu a měří se v Hertzech [Hz=1/s], amplituda určuje největší možný rozkmit a měří se v metrech.

Pohyby planet spadají do kategorie mechanických pohybů a řídí se Newtonovými zákony. Do této kategorie pohybů patří také zvuk.

Pro zvuk se dvojice parametrů (f,A) doplňuje o třetí parametr trvání t, který udává čas znění v sekundách.

Aristotelés ze Stageiry

Složení periodických pohybů

Pohyb vzniklý složením několika periodických pohybů může být periodický jedině tehdy, jsou-li frekvence těchto pohybů v poměru celých čísel.

Pýthagorás si povšiml, že zvuky, jejichž frekvence jsou v poměru malých celých čísel vytváří konsonantní (libozvučná) souznění.

Tuto skutečnost považoval za tak zásadní, že si troufl ji zobecnit i na pohyby v celém kosmu. Podle Pýthagora vytváří pohyb planet souznění – “harmonii sfér”, zvuk této kosmické harmonie ale neslyšíme, protože jsme mu již od narození přivykli…

Zvuk

Pojmem zvuk se rozumí každý podnět, který můžeme zachytit sluchem.

Přitom se rozlišuje vlastní zvuk (objektivní existence) od jeho následného vjemu (subjektivní existence). Vjem zvuku je vyvoláván změnami tlaku vzduchu. Samotná změna tlaku vzduchu ale nestačí, musí se odehrávat periodicky s určitou frekvencí – vlny tlakových změn musí následovat rychle za sebou.

Leonardo da Vinci

Vodičemzvuku je hmotné prostředí. V jeho nepřítomnosti (např. na Měsíci, kde není atmosféra) se zvuk nešíří (oproti tomu pohyb elektro-magnetický se šíří i ve vakuu). Přenášení mechanického pohybu z jednoho bodu prostředí na druhý se nazývá zvukové vlnění. Předpokládá se, že kmitají všechny částice, jež obklopují zvučící těleso. Protože se zhuštění a zředění vzduchu střídá ve směru pohybu, mluví se o podélném vlnění. (V pevných látkách, kde nejsou částice volně pohyblivé může existovat navíc příčné vlnění – tj. vlnění kolmo ke směru pohybu). Vlnová délka je vzdálenost, po které se dostanou částice zase do téže situace vzhledem k ose, kolem které kmitají (např. nejvyšší struna kytary s frekvencí cca 330 Hz má ve vzduchu vlnovou délku zhruba 1 metr).

Huygens Christian

Vlny se vzájemně neovlivňují. Každá vlna postupuje prostorem tak, jako by tam byla sama. Součet vln se děje vektorově a může být proto menší než oba sčítance (nulový součet je ale obtížné vysvětlit tokem částic...).

Základní vlastnosti vlnění (byť různé podstaty) jsou společné - Snellův zákon, Fermatův princip i Huyghensův princip – původně objevené pro světlo - je možné aplikovat i na zvuk (totéž neplatí ale o zákonech polarizace světla apod.).

Vlastní frekvence tělesa

Taylor Brook

Zvučící těleso (struna, deska,..) má obvykle jednu základní vlastní frekvenci kmitání.

• Spojení tří Mersennových zákonů pro znění strun tvoří tzv. Taylorův vzorec pro kmitočet struny. (frekvence kmitání závisí na napětí, průměru struny, specifická hmotnosti a délce struny).
• U píšťal je rozhodující jejich délka (a rychlost zvuku).
• Desky mají základní tón tím vyšší, čím je deska menší a tlustší. Tenká (i malá) deska vydává hluboké tóny. Velká, těžká, vhodně zakřivená deska (zvon) dává mohutné tóny.

Také každý člověk má svůj "vlastní" tón. L.Janáček v mluvě sousedů nacházel stále tytéž tóny. Velká část lidových písní je zakončena tímtéž tónem, kterým začala.

Částkové tóny

Tělesa kmitají nejen v celku ale i svými částmi. Vznikající vyšší tóny nazýváme částkové tóny. Jsou-li frekvence částkových tónů celočíselné násobky frekvence základní (2f, 3f,…) mluvíme o (vyšších) harmonických složkách, alikvotech. Spektrum souznějících tónů závisí na tvaru, rozměrech a materiálu zvučícího tělesa.V případě desek a zvláště zvonů, kdy souznějící tóny nejsou násobkem základní frekvence, mluvíme o neharmonických složkách.

Guido z Arreza

Složeným zvukem rozumíme souznění základního tónu a tónů částkových (vznikajících na jednom daném tělese).

Zesílením vybraných vyšších harmonických se dosahuje umělých barev, např u varhaní mixtury.

Tóny a souzvuky

Tón je složený zvuk , podržující si po jistou dobu konstantní hodnotu základní frekvence. V praktické hudbě se používá tónů s frekvencí nejvýše cca 5 kHz (pikola, flažolety houslí). V důsledku existence alikvotních tónů zní ale (jako součást barvy zvuku) i tóny vyšší.

Spektrum harmonických složek se považuje za barvu (témbr) tónu.

Ohm Georg

Barva je (vedle frekvence,amplitudy a trvání) čtvrtým parametrem znění tónu.

Podle Ohmovy teorie závisí zvuková kvalita tónů jen na amplitudách jejich alikvotů, nikoli na jejich vzájemných fázích.

Sluch rozkládá (fyziologicky) všechny zvuky podle tzv. Fourierovy analýzy na tóny jednoduchého (sinusového) průběhu.

Souzvukem se rozumí znění několika tónů. Pro souznění (a vztah) dvou tónů se používá také pojmu interval, pro souznění více tónů pojmu akord.

Současně znějící zvuky od sebe rozeznáváme (podle výšky a barvy).

Tartini Giuseppe

Rozdílové a kombinační tóny

Při současném znění dvou tónů s frekvencemi f₁, f₂ na jednom zvučícím tělese vznikají reálně tzv. rozdílové tóny s frekvencí:

  f_r = f_i– f_j 

Zesílení , náhrada základního tónu spektra (f_n–f_n–1=f₀).

Např. c g - posílení tónu c (formálně).

Hluboké varhanní rejstříky - rozdílové tóny dvou kratších píšťal , g₀c₀ - c_–1 .

Martenot M.

Kromě rozdílových tónů vznikají na zvučícím tělese další, tzv.kombinační tóny. Kombinační tón součtový je velmi slabý. Vzniká jako rozdílový tón harmonického a rozdílového tónu (první alikvot - první rozdílový tón):

 f₁ + f₂ = 2 f₁ – (f₁– f₂) 

Součtový tón bývá (na rozdíl od diferenčního) dizonantní s hranými tóny.

Rázy

Při současném znění dvou nepatrně odlišných tónů jsou rozdílové tóny mimo hranici slyšení a způsobují kolísání hlasitosti výsledného tónu (falešný trilek na varhanách f_H–f_C=8 Hz) nebo vydávají nepříjemný zvuk (v rozpětí cca 30-60Hz).

Young T.

Mluví se o tzv.rázech (záznějích). Helmholtz -oproti T.Youngovi- považuje rázy a diferenční tóny za rozdílné (princip nelineární superpozice). Podle jeho teorie rázy ovlivňují libozvučnost souznění (sonantnost).

Rázů se využívá při ladění nástrojů - vylaďování se provádí tak dlouho, až zázněje zcela vymizí. Rázy nevznikají v trilku či při tremolu a nejsou postřehnutelné ani mezi nástroji odlišné barvy nebo mezi tóny s rozdílnou intenzitou.

Svět zvukových vjemů

Působení zvuku

Zvuk může působit léčivě (hřeje, ničí mikroorganismy) i bolestivě až smrtelně (infrazvuk může narušit biologické rytmy - alfa rytmus mozku, tep srdce,..)

Sluch se vyvinul teprve u vyšších tvorů, u jednoduchých živočichů chybí, nebo je velmi slabý. Menší zvířata slyší obvykle lépe vyšší zvuky, větší zvířata zvuky hlubší. Existují ale výjimky (delfíni komunikují ultrazvukovými vlnami…).

Lidský sluchový orgán, je pokládán za tlakový přijímač zvuku. Sestává z řady částí z nichž každá má svou zvláštní funkci. Vnější ucho zachytává signály a směruje je do středního ucha. Za vlastní sluchový orgán je považován hlemýžď tj. dutý útvar vyplněný kapalinou a podélně předělený basiální (základní) membránou a uzavřený oválným okénkem. Na basiální membráně začínají (v místě tzv.Cortiho ústrojí) jemná vlákna sluchového nervu, který přenáší signály do mozku. Cortiho ústrojí je řada různě tlustých a dlouhých vlákének, které vyztužují basiální membránu.

Tlak zvukové vlny postupující do vnitřního ucha se zvyšuje. Střední ucho zmenšuje amplitudy kmitů, zvětšuje ale akustickou hustotu.

Meze vnímání

Stejně jako je světlo výsekem ze všech možných projevů kmitání elektromagnetických vln (včetně ultrafialových paprsků, rádiových vln…) je zvuk výsekem ze všech možných projevů mechanického kmitání prostředí (včetně infrazvuku, ultrazvuku,…) Sluchové ústrojí nemůže přijímat všechny vlny a přijaté vlny nemohou být zpracovány všechny stejně (nízké tóny jsou vnímány jinak než vysoké..)

Množinu možných frekvencí i intenzit uzavírají meze slyšitelnosti (frekvence 16 Hz -20 kHz, tlak 2∙10^–5 Pa-10 Pa). Meze citlivosti určují, které zvuky člověk nejcitlivěji vnímá (1kHz-4 kHz). Meze příjemnosti určují, kdy ještě zvuk nepůsobí bolest (práh bolestivosti 20 Pa, mez únavy sluchu cca 5 sekund) a kdy je tolerována jeho určitá nečistota (tolerance rozladěnosti, dizonance souzvuku, vibráta v hlase,…)

Abychom počitky od sebe rozlišili, musí být rozdílné o určitou minimální hodnotu, mez rozlišitelnosti. Rozlišitelnost se posuzuje buď psychologicky (laboratorně) za ideálních podmínek, nebo esteticky při poslechu umělecké produkce. Meze rozlišitelnosti souvisí s informačním přenosem, který u člověka činí cca 12-25 bódů tj. bitů/sekundu. Okem postřehneme cca 10-20 obrázků za sekundu a cca 5-20 zvuků za sekundu (v závislosti na frekvenci zvuku).

Pokud zvuk trvá krátkou dobu (neproběhne ani jedna celá perioda) není v principu možné určit přesnou hodnotu frekvence (obdobný problém se objevuje v astronomii – např. jak určit přesně oběžnou dobu tělesa, která bylo pozorováno jen krátce).

Fourier Jean-Baptiste de

Rozmanitost barev

Nástroje, které s řídkým spektrem částkových tónů zní měkce, mělce, dutě (varh. píšťaly, výšky klavíru). Barva zvuku s alikvoty silnějšími než základní tón (hoboj, fagot, hluboké smyčce) je poněkud výraznější než zvuku se slabšími alikvoty (flétna, harfa, lesní roh).

Čím více harmonických složek zvuk obsahuje, tím je plnější (smyčce jako celek). Vyšší harmonické složky zvuk přiostřují (trubka, pozoun).

Spojité spektrum (bicí nástroje).

Sudé - Měkce, jasně, liché - Dutě, nosově, tvrdě, pronikavě huhňavě, rozladěně (klarinet, kryté píšťaly varhan, drnknutí struny v půli?)

Zvuk s klesající intenzitou alikvotů zní plně (principální rejstříky varhan).

Barva zvuku souvisí s dalšími jevy (vkmitáváním, dynamikou, formanty,…). Vkmitáváním, se rozumí pořadí rozeznění harmonických tónů (sdola – klarinet, shora - klavír, smyčce,.. ). Při silnější dynamice se dostávají nad práh slyšitelnosti slabší harmonické. Formanty upřednostňují vybraná pásma frekvencí (u hlubších zpěvních hlasů znějí hlasitěji alikvoty s vyššími čísly,…).

Békésy Georg von

Teorie slyšení

Podle Helmholtzovy rezonanční teorie vyvolává každý tón podráždění určitého místa vnitřního sluchového ústrojí. Předpokládá se, že zvuk zachytává basiální membrána. Helmholtz uvažoval, že vlákénka v blance (s délkami? 0.04 - 0.5 mm) jsou obdobou rezonujících strun. Helmholtz předpokládal, že vlákénka nemusí rozměrově odpovídat strunám protože kmitají v husté kapalině.

Ewald J.R.

S jinou teorií vystoupil G.Bekésy. V kapalině vznikají při zvukovém chvění vírové dvojice, podle výšky tónu blíž nebo hlouběji v hlemýždi. V odpovídajícím místě vytvoří tlak a tím podráždí správný nerv.

Sluch reaguje okamžitě i na velmi krátké impulsy a zaznamenává správně jejich výšku. Stačí se ostře naladěná rezonančních vlákna plně rozkmitat?

Citlivé nervy jsou rozmístěny podél hlemýždě tak četně, že se daným zvukem vzbudí hned velký počet signálů najednou. Přesto je člověk schopen rozlišit i nepatrné rozdíly kmitočtů.

Basiální blanka by za předpokladu dokonalé pružnosti mohla, oscilovat simultáně na několika frekvencích a přijímat tak různé tóny, včetně harmonických složek.

Primární a sekundární tóny

Sorge Georg Andreas

Při přenosu zvuku do orgánů lidského sluchu dochází k jistým rezonancím. Vznikají doplňující alikvotní tóny nazývané subjektivní alikvoty. Při současném znění dvou zvuků se vytváří v sluchovém ústrojí subjektivní rozdílové tóny.

Tóny se kryjí (maskují ) tím více, čím jsou jejich frekvence bližší (slabší tón je kryt silnějším )- maximum je v jisté vzdálenosti ( pak rázy ). Např. při (200Hz, 80 dB) neuslyšíme (800Hz, 70 dB).

Primární, reálně znějící tóny, připomínají vnější síly produkující v našich uších deformace. Sekundární tóny, tj. naše vjemy, jsou tóny které slyšíme.

Množina sekundárních tónů nemusí být stejná jako množina tónů primárních (slyšení, harm.vazby, maskování,...) Někde uprostřed cesty dochází k interakci tónů, některé tóny staví překážky do cesty jiným tónům. Pak slyšíme jen výsledek (jen tóny, které prošly bariérami).

Logaritmické vnímání

Elementární akustický podnět (f, A, t), kde f je frekvence, A amplituda a t čas se promítá do našich smyslů jako vjem (v, h, d) , kde v je výška, h hlasitost a d délka.

Weber, E.H.

Weber-Fechnerův zákon

Fyzikálně odlišné zvuky mohou být psychologicky velmi podobné.

Weber zjistil, že k pozorovatelnému zvýšení vjemu musí být zesílení podnětu úměrné předchozímu podnětu.

Fechner Theodor

Fechner toto upřesnil – intenzita našeho vnímání roste úměrně logaritmu energie podnětu.

Logaritmický vztah mezi intenzitou fyzikálního podnětu a intenzitou počitku platí pro sluch i zrak.

V hudbě:

 I = I₀ 10^decibelů/10 [I₀=10-12 W/m²] 

 f = f₀ 2^halftones/12 [f₀=440 Hz] 

Hlasitost

K odvození hlasitosti h z intenzity I byla mezinárodní dohodou stanovena rovnice

 H = e^{0.069L–2.76} ( = 20.1^L–4 = 100.03^L–1.2) 

kde L = q ln I/I₀ ( = q/ln10 log10 I/I₀ ) je hladina zvuku v dB ,

q koeficient citlivosti lidského ucha pro danou frekvenci ( f= 1kHz => q=ln10) ,

I₀ prahová intenzita. Když r = ln I/I₀ , pak H = e^{0.069qr–2.76}.

Hlasitost mírně vzrůstá zároveň i s frekvencí tlakových změn.

Výška tónu

Poměr frekvencí rij (objektivním interval) vnímáme jako rozdíl výšek hij (subjektivní interval):

r = f₂/ f₁ (f₂ > f₁)

∆V = V₂– V₁ (V₂ > V₁) log f₂/f₁ = log f₂-log f₁

Révész Géza

Dvě složky výšky tónu

Oktávová identita

Zvláštním případem interakce je rezonanční poměr 2:1, tzv.oktávová identita. Sahá k samému základu hudebních soustav - tóny s frekvencemi v poměru 2:1 jsou vnímány jako tóny jedné třídy a pojmenovávány stejnými písmeny.

Tónovou soustavu, která takto vzniká nazveme formální. Ve formální soustavě jsou všechny tóny co do frekvence invariantní k 2ⁿ. Interakce se zjednodušší za cenu určitého zkreslení.

Oktávová identita a tónová identita vůbec je z harmonických vazeb nejsilnější a nejvýraznější. A jako nejsilnější vazba nabývá v hudbě jiného významu, než vazby ostatní.

Handschin Jacques

Dvě složky výšky tónu

V barvě světla se obdobně jako u zvuku rozlišuje výška (kvalita, tón) podle frekvence a intenzita (jasnost) podle intenzity osvětlení. Navíce se u světla udává sytost (čistota) podle toho jestli se mísí s jinou barvou.

Analogií sycení určité barvy bělobou je v hudbě prosvětlování tónů směrem k vyšším oktávám. Podle G.Révésze je výška komplexem dvou nezávislých momentů.

tónové kvality (znělosti, tónovosti) C,D,…

kvantity světlosti C,c,c₁,…

V analogii se světle jsou pak např. všechny tóny D žluté, přičemž d je tmavě a d₂ světle žlutý. S touto myšlenkou pracují také E.M.Hornostel, M. Kolínský , C.Stumpf a další.

Doznívání

Doznívání klavíru - vzšší tóny 1 s, basy 50 s. Hmotnější struna déle doznívá (zvuk je plnější) - moderní klavíry mají struny tlustší a víc napjaté. Aby dlouhé struny nedávaly silnější zvuk, jsou jednojmo; strunypro vyšší tóny jsou zdvojovány, ztrojovány. Nástroje : drnkací - menší tlumení, aby doznívaly; smyčcové - větší tlumení, aby byly možné změny. Tón vyznívá po svém zakončení ještě 0.1 s v 1/10 prvotní síly.

Kmity tlumené ( drnkací nástroje, klavír-údery kladívka ) intenzita postupně klesá ( odpor prostředí, nedokonalá pružnost struny).

Kmity netlumené ( smyčcové i dechové nástroje ) téměř vyrovnané intenzity po celou dobu znění ( stálé dodávání energie).

Stumpf Carl

Zatemňování hlubokých tónů

Aristoteles se domníval, že hluboké tóny se šíří rychleji než vysoké, což však bylo experimentálně popřeno. Hluboké tóny mají ale tendenci k větší základnosti. Příčinou by mohla být jednosměrnost alikvotní řady, existují ale i jiné možné příčiny. Josef Micka v knize Hudební dynamika (1943) píše:

>> ... tóny hlubokého registru inklinují k dynamice silné, vysoké tóny k dynamice slabé. Příčinu dlužno hledati v poměrech akustických. Dynamika závisí na výšce amplitudy (je úměrná čtverci amplitudy). Hluboké tóny mají menší počet kmitů za sekundu, potřebují tedy v podstatě menší množství energie než tóny vysoké ... Působí-li pak totéž množství energie na jedné straně při tvorbě tónu vysokého a na druhé straně u tónu hlubokého, pak ono přebývající množství, vzniklé úsporou energie z rozdílu počtu kmitů může se projevit jedině směrem zvýšení amplitudy: hlubší tón je silnější. .. Můžeme tedy říci, že čím hlubší tón, tím je schopnější dynamické gradace. <<

Tato argumentace se zdá být přesvědčující. Ale struny, které se používají pro nižší tóny jsou také tlustší a těžší. Proto spotřebujeme na jejich rozeznění poněkud více energie (získávají tak větší setrvačnost tj. hybnost).

Hybnost tónu

Hybnost je fyzikálně definována jako součin hmotnosti a rychlosti. Přisoudíme-li nižším a hlasitějším tónům větší "hmotnost", pak jejich pohyb bude znamenat větší hybnost. Učiňme takový pokus.

Nechť m_j reprezentuje "hmotnost tónu":

 m_i = E_i/f_i 

kde E_i je energie a f_i frekvence.

Pokud definujeme interakci tónů (impuls) vztahem:

i=m₁∙m₂/s, kde m_i= E/f_i,

pak i = (E/f₁∙E/f₂)/s = E²/f₁f₂s,

což by mohlo objasnit lepší slyšitelnost stejných výškových rozdílů ve vyšších polohách než v nižších. A když označíme v rytmickou pohyblivost (rychlosti hudebních změn), pak můžeme definovat hybnost tónových změn podobně jako ve fyzice:

 p=m∙v 

Lépe než unisono snášíme mírné rozladění, ale čím vyšší tón, tím musí být

šířka pásma menší (při malých počtech nástrojů -v komorní hudbě - je lépe se unisonu vyhnout úplně, zvláště v poloze basové).

Konsonance a dizonance

Eukl(e)ides z Alexandrie

Když souznění tónů působí příjemně

(libozvučně, klidně, měkce..) mluví se o konsonanci. V opačném případě (nelibozvuk, napětí, nesourodost, ostrost,obtížné vnímání,..) se říká, že souznění je dizonantní.

d	Interval	N1/n2	Prvočísla	∑	∏
0	Prima,oktáva	1/1	-	2	1
0	Oktáva	2/1	2	3	2
7	Kvinta	3/2	2,3	5	6
5	Kvarta	4/3	2²,3	7	12
4	Velká tercie	5/4	2²,5	9	20
8	Malá sexta	8/5	2³,5	13	40
9	Velká sexta	5/3	3,5	8	15
3	Malá tercie	6/5	2,3,5	11	30

Podle Euklida jsou 2 konsonantní tóny schopné slévat se v jeden celek, z čehož se usuzuje, že patří k sobě. U dizonantních tónů toto možné není.

Známé hudební soustavy obvykle zahrnují poměry 2:1 (oktáva) a 3:2 (kvinta).
Poměrů 1/1, 2/1, 3/2, 4/3 (odvozených z prvočísel 2 a 3) bylo užíváno od Starověku a převažovaly ještě v době ranné polyfonie tj. v 9.-11. století. Pythagoras i Aristoteles považovali tercie (6/5 , 5/4) za disonantní.

V hudbě se tercie a sexty začaly se objevovat až ve 12.století a teoreticky byly uznány v 18. století (J.P.Rameau).

Pozorujeme (stálý?) posuv hranice mezi konsonancí a dizonancí.

Otázka konsonance a dizonance nebyla dosud definitivně rozřešena. Za příčinou dizonance mohou být i jiné faktory, např.: diferenční tóny (Hindemith), subjektivní částkové tóny (Husman), členění frekvencí po přenosu do centrálního nervového systému (Hornbostel)

Matematické teorie

Všechny matematické teorie, které se snaží postihnou hodnotu sonantnosti souznění, usilují o vyjádření jednoduchosti číselných poměrů.

V astronomii se jednoduchost rezonance posuzuje podle součtu (∑) koeficientů (u poměrů jde u součet čitatele a jmenovatele zlomku), např. 5/4 tak získá hodnotu ∑ rovnou 9. Obdobně je možné jednotlivé koeficienty (ve zkráceném tvaru) násobit, součin ∏ je tzv. součinitel konsonance, v našem příkladě 5.4=20, viz tabulka.

<

Interval	Zlomek	2i	3j	5k	ψ	G
Prima	1/1				1
Oktáva	2/1	21			2
Kvinta	3/2	2–1	31		3
Kvarta	4/3	2²	3–1		3
Velká tercie	5/4	2–2		51	5
Malá sexta	8/5	2³		5–1	5
Velká sexta	5/3		3–1	51	15
Malá tercie	6/5	21	31	5–1	15

Euler, Leonard

Hudba se zdá ale od mechaniky a astronomie lišit, protože poměry 1:2ⁿ jsou určitým způsobem zvýhodněné. Malá sexta 8/5 má součinitel konsonance: 5∙8=40, zatímco velká sexta 5/3: 5∙3=15. Tedy velká sexta (formálně totéž co malá tercie) by podle toho byla konsonantnější než sexta malá (formálně velká tercie). To ale - zdá se - neodpovídá realitě. Poměry považované v současnosti za konsonantní vyhovují vztahu 2^c ∙ p/q, kde p,q ε {1,3,5}, c ε {–2,–1,0,1,2,3}. Úplného sjednocení všech oktávových poloh dosáhneme odstraněním koeficientů 2ⁿ z ∏ , budeme mluvit o formální charakteristice ψ:

 ψ = ∏ / 2ⁿ  

L. Euler navrhl pro poměr rεQ (racionální čísla) s rozkladem r = ∏ p_{j v součin prvočísel pj, s exponenty ajεZ (celá čísla) stupeň libozvučnosti ("Gradus suavitatis"):}

 G(q) = 1 + a₁∙(p₁–1) + a₂∙(p₂–1) +.... + a_n∙(p_n–1) 

Euler předpokládá oktávovou identitu jen u nejbližších tónů, podle jeho vztahu jedna oktáva (2¹) neovlivňuje výsledek výpočtů (1∙(2–1)=1) ale interval 4/1 je dizonantnější než 2/1.

Rozšíření na vícezvuky

 ∏ = nsn(n₁,n₂,n₃,...)  

Koeficient konsonance a formální charakteristiku se nyní pokusíme zobecnit pro vícezvuky. Pro souzvuk s poměry frekvencí f₁/f₂/f₃,... = n₁/n₂/n₃,..., kde n₁,n₂,...ε N (malá celá čísla) a definujeme hodnotu ∏ jako nejmenší společný násobek čísel n_i:

Zvětšený trojzvuk má sice lepší koeficient konsonance, nikoliv ale formální charakteristiku.

Paradoxy matematických teorií

Matematické teorie se staly terčem celé řady kritiků, ne vždy však oprávněně. Námitka, že nepatrnou změnou jednoho z tónů se výrazně zvýší dizonance neobstojí, protože neuvažuje toleranci lidského sluchu, na které je (úspěšně) založeno temperované ladění.

Námitka, že prázdná septima je mnohem dizonantnější než vyplněná terciemi zase neuvažuje (psychologické) rozprostření pozornosti (a tím i dizonance) na všechny existující vazby (septima obsahuje 1 vazbu, čtyřzvuk vazeb 6, za kterými se dizonance septimy schová).

D'Alembert, Jean-Baptiste

Pro souzvuk cegc i cegh vychází stejná míra dizonance

(cegc = 4:5:6:8 = 120 jednotek cegh = 8:10:12:15 = 120 jednotek).

Námitka nepracuje s oktávovou identitou a všemi poměry mezi tóny souzvuku.

Souzvuky cegc i cegh mají stejnou rezonanční charakteristiku r(120) = r(2³∙3∙5) = 15,
proto že n(c,e,g,c) = nsn(4,5,6,8) = 120 a n(c,e,g,h) = nsn(8,10,12,15) = 120.

Interval h-c nerezonuje (má impulzní charakteristiku) a způsobuje pociťovanou dizonanci souzvuku cegh. Konsonanci souzvuků nelze odvodit jen z rezonujících poměrů.

Alikvotní teorie

Helmholtz Hermann Podle D'Alembertovy teorie určuje konsonanci počet společných alikvotů. Mollový souzvuk (a,c,e) vysvětlil pomocí tónu (e), který je alikvotním tónem tónu (a) i tónu (c). D'Alembertova teorie vyhovuje dobře pro dvojzvuky,

pro vícezvuky se ji pokusil yobecnit H.Helmholtz. Helmholtzova teorie staví na předpokladu, že míru sonance určují rázy vznikající mezi alikvoty (uvažuje 1. až 6. částkový tón).

Domněnku potvrzuje i známá skutečnost, že kombinace některých nástrojů změkčuje zvuk- při rozdílných barvách tónů nevznikají mezi alikvoty rázy.

Za kritické pásmo považuje Helmholtz rázy s frekvencemi 7 - 276 Hz, přičemž v okolí cca 33 Hz jsou nejnepříjemnější. Takové rázy vznikají např. mezi c₂-c#₂ (půltón,31.1 Hz), d₁-e₁ (celý tón, 32.0 Hz), c₀-e₀ (v.tercie, 34.0 Hz), c_–1g_–1 (kvinta, 32.5 Hz) nebo c_–2c_–1 (oktáva).

( k eliminaci záznějů volit v příslušných oktávách větší intervaly )

Odvozování: c1 h1 232.5 Hz příjemnost ? ne, ale nepříjemnost způsobuje částkový tón c2 ( c1 b1 204.5Hz x b1 c2 57.0 Hz dtto ).

V těsné (viz Euler) blízkosti konsonantních intervalů leží pásma s velkým stupněm napětí (půltón, tritonus, neutr.tercie ?)

Paradoxy alikvotních teorií

Námitky k Helmholtzově teorii: Z rázů mezi částkovými tóny vychází dizonantnost malé sexty a také kvarty; tatáž dizonance (např. cd) má o oktávu výše dvojnásobný počet rázů: Helmholtzova teorie nepracuje s oktávovou identitou.

Hudební intervaly tvoří poměry frekvencí. Je proto poněkud zvláštní vycházet při určování dizonance z rozdílů frekvencí!

Z pohledu hudby zůstává půltón půltónem i když posuneme oba tóny nahoru či dolů.

Hodnota dizonance by mohla být spíše funkcí tvaru m_i∙m_j/g(f_i/f_j), kde g() je nějaká funkce-např.logaritmická, a byla by definována podobně jako impuls.

Podle K.Risingera rozlišujeme intervaly konsonantní a dizonantní i u tónů bez alikvotů.

Sonantnost tónu

Každý tón je součást nějaké řady a zdroj své vlastní řady harmonických Podle rozložení intenzit harmonických. Souzvuk+rozdílovétóny (metasouzvuk).

Podle rozložení intenzit harmonických, hustoty,..

Míru konsonance a dizonance ovlivňuje zvuková barva. I samotný jeden tón může být pociťován jako dizonantní. (Hudební intervaly, které se objevují v ptačím zpěvu, jsou často těžko rozpoznatelné. Příčinou je bohatost a proměnlivost barvy zvuku.

Protiklad konsonance a dizonance zde nabývá významu čistota x nečistota a mluví se o akustické konsonanci a dizonanci. Cílem je vyhnout se akustické dizonanci (nečistotě), čímž se zabývá nauka o instrumentaci. Akustickou a hudební konsonanci rozlišoval již H.Riemann.

Hindemith Paul

Informační teorie

Konsonance souvisí s uspořádaností souzvuku, je dána určitým rozložením energií. Toto rozložení ovlivňují rezonance mezi jednotlivými tóny vznikající v důsledku jednoduchých číselných poměrů. V souvislosti s neuspořádaností, jejíž mírou je entropie, se dizonance spojují s větším informačním obsahem.

Dizonance jsou nositeli větší informace větší informační obsah

Dizonance může záviset také na uspořádání tónů. Soulad (konsonance) několika frekvencí není určen přímo jen poměry malých celých čísel. Jednoduché poměry ovlivňují přenos energií (spojitost). Mírou souladu je až míra jistého uspořádání těchto energií.