Hudební soustavy

Hudební soustava

Hudební materiál je množina hudebních symbolů (a jejich významů).  Hudební soustava je relace na této množině.

Rozlišujeme:

Řád soustavy je mohutnost množiny reprezentantů, k=#(F).

V případě tónové soustavy vyjadřuje řád počet různých tónových výšek v oktávě, v případě

rytmické soustavy počet elementárních (sčasovacích) tiků v taktu.

<P>

Tónové soustavy s řádem r>12 bývají  nazývány mikrotonální soustavy.

Platón
Platón, 427-347 př.n.l., řecký filozof, věci jsou je „stíny“ ideí. Uvědomil si, že půltón vznikl druhotně - jako vedlejší produkt dělení. Podporoval výhradně jen dórický a frygický mod.

Tónová soustava

Tónová soustava je určena vztahy mezi používanými tóny. Diskrétní soustavu tvoří množina tónů o určitých vybraných výškách.

Diskrétní soustavy, ve kterých jsou výšky tónů uspořádány v aritmetickou posloupnost, nazýváme pravidelné.

V pravidelných soustavách tvoří výškám odpovídající frekvence (podle Weber-Fechnerova zákona) posloupnost geometrickou.

Skutečný zvuk hudební skladby je prostá posloupnost fyzikálních dějů. Fyzikální vztahy se pozorují  jako spojité funkce.

Do estetické roviny se promítá lidské diskrétní pojímání jevů (konečný počet tónů, dynamických znamének,.., hranice konsonance). K vytváření struktur se ukazuje vhodné použití kombinatoriky. 

    Fyzikální =>      Strukturální =>       Estetický

Mezi oba světy se tak včleňuje třetí (strukturní, logický,..) svět a ten se jeví jako diskrétní:

Vhodný logický svět (hudební soustava, modalita,..) musí pokrývat  s tolerovatelnou nepřesností požadavky fyzikálního systému (poměry frekvencí…):

Vlastnosti souzvuků  (sonantnost, potenciál,…) závisí  v první řadě na postavení v logických schematech (struktura modality ...) , přičemž vlastnosti logických schemat plynou z fyzikálních (akustických i psychoakustických) zákonitostí.

Interval

Vicentino Nicola
Vicentino Nicola , 1511-1572, ?italský skladatel a hudební teoretik?. Prosazoval chromatiku, doporučoval rozdělit oktávu na 12 stejných dílů. Navrhl speciální nástroj (cembalo) pro jemné rozdíly přirozeného ladění a testování antické enharmoniky.

Rozdíl dvou výšek nazýváme hudební interval. Jednotkový interval odpovídá jednomu dílku pravidelné soustavy.
V pravidelných soustavách je interval mezi každými dvěma bezprostředně  následujícími tóny konstantní  =

Nečistota - nerespektování soustavy, modality

Poměr nejbližších tónů v pravidelné soustavě je

 r= fi+1/ fi = 21/k 

Nejmenší možný subjektivní interval v dané soustavě nazýváme jednotkový interval. V 12-ti tónovém systému je jednotkovým intervalem půltón.

Za jednotku subjektivního intervalu byl zaveden 1 cent, tj. 1 % půltónu.    

Tedy 12  h=  ln r 100 [ centů ] / ln 2  K srovnání s jinými soustavami je výhodnější vztažný interval.

K měření je možné použít i jiných jednotek (milioktáva= tisícina oktávy,…)Interval d je vzdálenost mezi dvěma tóny měřená v dílcích dané soustavy. Např. interval mezi tóny c1 a e2 (v 12-ti tónové soustavě) činí 16 dílků, tj. 16 půltónů. Intervalu d odpovídá poměr frekvencí  r = ξd = 2d/k

Loguin A.
Loguin A. , -, moderní hudba pracuje s 12-ti tóny, pokusil se o systematiku.

Formální soustava

Nazývejme formální soustavou takovou idealizaci hudební soustavy, která tóny s frekvencemi v poměru 2:1 ztotožňuje. Předpokládá se, že všechny vlastnosti související s frekvencí  zvuku jsou invariantní vzhledem k násobení dvěmi, tj. při změně oktávy se významně nemění.

Ke každému tónu pravidelné soustavy přísluší reprezentant v soustavě formální.

Praetorius Michael
Praetorius Michael , 1571-1621, německý skladatel, varhaník a hudební teoretik, autor raně barokních duchovních koncertů a hudební encyklopedie. Uvažoval o rovnoměrně temperovaném ladění.

Např. reprezentantem všech tónů C,c,c1,c2,c3,... je C. Reprezentant zastupuje třídu ekvivalentních tónů, počet tříd (tj. mohutnost množiny reprezentantů F), nazýváme řád soustavy, k=#F.

Řád je mírou rozmanitosti soustavy, čím je vyšší, tím bohatší, ale i jemnější a komplikovanější jsou vztahy mezi tóny.    

Formální pravidelná soustava je řádu k, když člení oktávu na k stejných  dílků.

Cílem zavedení formální soustavy je opatřit základní vztahy. Mezi hudebníky se často mluví v pojmech formálních soustav, např. akordem A se rozumí souznění ac#e bez ohledu na oktávová umístění tónů. Získání experimentálních dat pro výzkum neformálních systémů je obtížné a spadá spíše než do sféry hudební teorie do oblastí akustiky a psychoakustiky.

Werckmeister Andreas
Werckmeister Andreas [], -, německý varhaník, inicioval zavedení temperované ladění (spis z r.1691).

Nejrozšířenější soustavou je v současné době pravidelná dvanáctitónová soustava (k=12). Její reprezentanty je zvykem zapisovat symboly: {c,c#,d,d#,e,f,f#,g,g#,a,a#,h}, resp. {c,db,d,eb,e,f,gb,g,ab,a,b,h}

nebo čísly F={0,1,2..11}.

Temperované ladění

Při ladění nástrojů se objevuje řada úskalí, na první z nich (nemožnost současného vyladění kvint i oktáv) poukázal již Pýthagorás.

Jednotkový interval (dílek) soustavy temperovaně vyladěné tvoří poměr frekvencí ξ = m_system1 =21/k. V 12-ti tónové soustavě je ξ= m_system2 =21/12=1.059.

Členění poměru 2:1 na dvanáct dílků je výhodné, protože umožňuje aproximovat poměr 3:2 sedmi a poměr 5:4 čtyřmi dílky. Je totiž poměrně přesně 27/12 = 3/2 (1.498) a přibližně také 24/12 = 5/4 (1.260).   

Formální interval

Transformací tónů do formální soustavy se upraví i všechny  vztahy mezi nimi.

Mediánem soustavy   nazýváme číslo κ =k div 2, paritou soustavy číslo k mod 2.

Medián tvoří ve formální soustavě největší možnou vzdálenost, parita soustavy ovlivňuje szmetrii intervalů.

Formální interval abstrahuje od oktávových poloh tónů.  Každé dva tóny pravidelného systému  vzdálené o interval  i= 2s  se stávají  totožnými.

Např. interval c1-e1 se 4-mi dílky (půltóny) zastupuje také intervaly c1-e2 s 16-ti dílky, c1-e3 s 28 dílky apod. Formální interval hf=4 je reprezentant třídy ekvivalentních intervalů hudební soustavy h=4,16,28.. (relace h à hfje homomorfismus).

p–q <=> fp/fq =2c, cεZ.

Množina F zahrnuje k formálních výšek vf, F = { 0,..,k–1}. Hudební výšku v lze chápat jako dvojici v = [o ,hf,].

Formální interval D zastupuje tedy celou třídu intervalů d = D+k∙z.

Tedy:  D = d mod k, kde d je interval pravidelné soustavy, D formální interval.

Intervaly 12-ti tónové soustavy

d

Interval

Poměr 

 Aprox.    

Zlomek

 0

Prima

1.00000

1.00000

1/1

 1

Malá sekunda

1.05946

1.06667

(16/15)

 2

Velká sekunda

1.12246

1.12500

(9/8)

 3

Malá tercie

1.18921

1.20000

6/5

 4

Velká tercie

1.25992

1.25000

5/4

 5

Kvarta

1.33484

1.33333

4/3

 6

Tritonus

1.41421

1.40000

(7/5)

 7

Kvinta

1.49831

1.50000

3/2

 8

Malá sexta

1.58740

1.60000

8/5

 9

Velká sexta

1.68179

1.66667

5/3

10

Malá septima

1.78180

1.77778

(9/4)

11

Velká septima

1.88775

1.87500

(15/8)

12

Oktáva

2.00000

2.00000

2/1

V tabulce jsou uvedeny všechny formální intervaly 12-tónové soustavy seřazené podle velikosti d.

Poměr frekvencí r = (1.05946)d = 2d/12 odpovídá rovnoměrně temperovanému ladění.

Následuje přibližná aproximace čísla r zlomkem.

Pro malou sekundu se užívá též ekvivalentního názvu půltón, pro sekundu velkou názvu celý tón.

Vzdálenosti 12 odpovídá interval oktávy, mediánem se vzdáleností 6 je tzv. tritonus.

Hodnoty zlomků v závorkách jsou pro lidský sluch poměrně složité,"nerezonují". Mezi blízkými tóny dochází k  interakci (k rázům,...). Interakce pak v důsledku existence částkových (alikvotních) tónů ovlivňuje i působení tónů, které nejsou bezprostředně blízko (např. tritonus). Podrobně se těmito jevy zabývá Helmholtzova teorie.

Vztažný interval

Pro převod mezi soustavami různých řádů budeme užívat ještě tzv. vztažný interval ∆Vij*k = ∆vij .

Mezi dvěma tóny s výškami i,j je   subjektivní interval  h = j – i ,

objektivní interval r = ξh  a vztažný interval s = h / k.

  Platí:  h ln 2 = k ln r    s ln 2 = ln r

Subjektivním intervalem vij nazýváme rozdíl výšek:   ∆vij = vj– vi , vj > vi.



Ostrý interval

V celých číslech můžeme zbytky po dělení vyjadřovat dvěma způsoby:

1/ nejmenší přirozené zbytky  0<D<k, např.: D=0,1,2,3...11

2/ absolutně nejmenší zbytky  1–κ(k)<D< κ (k), např. D=–5,–4,..,4,5,6

V prvním případě nabývají formální intervaly hodnot hf = 0..k–1 v druhém

mf= <– κ, + κ+1> (centrované formální intervaly). 

Soustava řádu k = 7 je liché parity s mediánem κ = 4 a rozsahem pro centrované intervaly  <–3, +4>.

Ellis John
Ellis John , -, rozdělil oktávu na 1200 centů.
Přepočet intervalů

Poměrný r  Vztažný s=log2r=logr/log2

Formální poměrný rf=2sf    Formální vztažný sf=frac(s)

Ostrý poměrný rs = 2ss   Ostrý vztažný ss=min(sf,1-sf)

Např.pro r=3.2(=16/5) je s=log23.2=log3.2/log2=1.678,

sf=frac(1.678)=0.678, rf=2sf=1.6 (8/5),

ss =min(0.678,1-0.678)=0.322 rs=2ss=1.25(5/4)

Subjektivní hf = h mod k,  objektivní  rf = ξhf a   vztažný sf = hf / k.

Tedy   sf = frac s ( když r  1 )    sf = 1 – frac s. ( když r< 1 )

Např. pro r= 0.750, r= 1.500, r= 3.000 je postupně  s=–0.415, s= 0.585, s= 1.585;   f=0.585.

Výšky tónů

Vzdálenost d=k.s. Formální vzdálenost df=d mod k = k.sf

Ostrá vzdálenost ds=df (pro df<=k/2), ds=df-k (pro df>k/2),

ds=k.ss. Poměrný interval r = 2d/k.

Výška h - vzdálenost od daného vztažného bodu h0 (tón c)

V pravidelném systemu je vhodné zvolit určitý vztažný  tón. Výšku každého tónu vyjádříme pak jako funkci jeho ordinálního čísla, tj. pořadového čísla vzhledem k vztažnému  tónu.  Převod tónu s ordinálním číslem d v pravidelném diskrétním  systému na ekvivalent s ordinální číslem ţ v odpovídajícím  formálním pravidelném diskrétním systému řádu k se děje  vztahem    delta = d mod k ,   kde d  N0, ţ = 0,1,2...k–1. Dva tóny s ordinálními čísly i, j jsou vzdáleny o  (j – i) div k oktáv  a (j – i) mod k dílků.

Ladění nástrojů se vztahuje k tónu a1, který má pro (pro k=12)

výšku ha1=21. Tón a1 má od počádku c vztažnou vzdálenost

s= 21/12 = 1.75, tedy r=21.75 =3.3636.

Frekvence počátku je pro ladění tónu a1 na 435-440 Hz

odtud 435/r-440/r = 129.3-130.8 Hz.

MIDI rozhraní

Midi výška i hlasitost 0..127, Půltónový interval r1=21/12.

Půltónů v intervalu p=logr/log r1

výška hm=h-48

ohýbání (nutné pro k<>12) 64+64∆p, kde ∆p=frac(p)

Rozmanitost struktur

S vývojem hudby dochází k obohacování známých uskupení o nové tóny. Neakordické tóny se postupně mění na akordické [Filip] a mění se sonantnost harmonického proudu. Od původně pevně stavěných struktur (kvintakordů)  se hudba  (po zavedením obratů, sekvencí, alterací,..)  dostala k využití celé kombinatoriky tvarů. Zároveň se souzvuky se proměňují i modality a jejich určitost, možnosti modulací,… Omezení harmonického slovníku baroka na několik základní harmonických funkcí umožnilo klasické hudbě vystupňovat harmonického dění.

S růstem počtu používaných struktur vzrůstá zároveň i počet možných harmonických spojů. Varieta možných rozdílných hladin potenciálů pro vícetónová souznění ale naopak klesá [Faltin]. Tak ztratily (oproti rázu klasických skladeb) na dynamice impressionistické skladby.

Dva čtyřzvuky v rámci sedmitónové modality mají nutně jeden společný tón. Společný tón souzvuky sbližuje a snižuje napětí mezi nimi. 

Proto se objevují pokusy o další členění a modifikace, z nichž nejvýraznější jsou pokusy o zavedení mikrotonálních soustav. Zdá se, že pravidelná 12-ti tónová soustava bude jednou vyčerpána a nahrazena soustavou vyššího řádu.

Mikrotonální soustavy

Aristoxenos z Tarentu
Aristoxenos z Tarentu , 4.stol př.n.l, řecký hudební teoretik. Zabýval se hudebně teoretickými i akustickými problémy. Jeho spisy tvoří základ antické hudební vědy. Za skutečný harmonický interval považoval kromě 1/2 i 1/3,1/4 a 1/8  tónu.

Harmonické soustavy s řádem k>12 bývají obvykle nazývány mikrotonální soustavy.  Jejich počátek lze nalézt již v hudbě Starého Řecka, kde se používaly i  mikrointervaly ("chroai"). Čtvrttónová hudba se setkala s ohlasem zejména v arabských zemích, kde má obdobu v lidové hudbě.

Descartes, René
Descartes, René [dekart], 1596-1650, francouzský filozof a matematik považovaný za zakladatele analytické geometrie. Zabýval se také fyzikou, optikou, meteorologií a hudební teorií. Hudba vzbuzuje afekty, hudební teorie pomáhá tyto afekty ovládat.
Přirozené soustavy

V některých kulturní oblastech jsou zavedeny jiné soustavy – od jednoduchých orientálních popěvků v 5-ti či 7-mi tónových stupnicích až po drobně členěné pasáže arabských písní v 24-dílné soustavě. Takové soustavy, které mají původ v lidském (iracionálním) cítění, budeme nazývat přirozené.

Řád

Interval d   (2d/k)

Výskyt

2:1

3:2

5:4

6:5

7:4

 5

5(2.000)

3(1.516)

-

-

4(1.741)

Malajsie, Indonézie, Čína, Japonsko

 7

7(2.000)

4(1.486)

-

2(1.219)

-

Indonézie, Barma, Thajsko, Siam, Kambodža,..

12

12(2.000)

7(1.498)

4(1.260)

3(1.189)

-

Prakticky celý svět

16

16(2.000)

9(1.477)

5(1.242)

4(1.189)

13(1.756)

Arabie

17

17(2.000)

10(1.503)

-

-

-

Arabie, Persie

22

22(2.000)

13(1.506)

7(1.247)

6(1.208)

18(1.763)

Indie

24

24(2.000)

14(1.498)

8(1.260)

6(1.189)

-

Staré Řecko, Arabie, Persie

Poměry frekvencí tónů pro vybrané intervaly jsou vypočítány za předpokladu, že soustavy jsou pravidelné. Ve skutečnosti existují drobné odchylky – pozorované např. při výzkumu nástrojů 5-ti a 7-mi tónové hudby apod.

Uvedené soustavy podporují nejsilnější vazbu spojitosti (kvintu) 3:2 v rozpětí 1.47-1.51.

(Přesné vyladění kvint v soustavách 5-ti a 7-mi tónových vede k modalitám 12-ti tónové soustavy, např. 2323(2) a 212221(2)).

U některých soustav je  pozorována vazba 5:4 (přírodní tercie) v rozpětí 1.24-1.26.

V 16-ti  a 22-ti tónové soustavě se objevuje přírodní septima (7:4).

Umělé soustavy

Některé soustavy vycházejí čistě nebo alespoň do jisté míry z teoretických úvah. Budeme mluvit o umělých soustavách.

Vznikají často zároveň s návrhy nových hudebních nástrojů, nebo s návrhy nového ladění nástrojů stávajících.

Soustava - určitým způsobem uspořádaná. Hierarchie ...Odvození  ( mikrointervaly, řetězové zlomky..).

V následující tabulce je pro ilustraci několik takových soustav (úplný výčet by vyžadoval podrobné studium z mnoha zdrojů).

Řád

Interval d (2d/k)

Vypracoval

2:1

3:2

5:4

6:5

7:4

19

19(2.000)

11(1.494)

6(1.245)

5(1.200)

-

M.Mersenne, R.Descartes

24

24(2.000)

14(1.498)

8(1.260)

6(1.189)

-

I.Newton, A.Hába

29

29(2.000)

17(1.501)

9(1.240)

8(1.211)

-

I.Newton

31

31(2.000)

18(1.496)

10(1.251)

8(1.196)

25(1.749)

L.Euler, C.Huyghens, A.D.Fokker

36

36(2.000)

21(1.498)

12(1.260)

9(1.189)

29(1.748)

I.Newton, A.Hába

41

41(2.000)

24(1.500)

13(1.246)

11(1.204)

33(1.747)

I.Newton

48

48(2.000)

28(1.498)

15(1.242)

13(1.207)

39(1.756)

53

53(2.000)

31(1.500)

17(1.249)

14(1.201)

43(1.755)

I.Newton, J.Petzval

Prvním možným vhodným kandidátem je soustava 19-ti tónová. (Její zavedení by nevedlo -vzhledem k překrývání znamének # a b v 12-ti tónové soustavě - k velkým změnám ve značení tónů).

Soustava 31-tónová vystihuje s velkou přesností velkou tercii (5:4) a přírodní septimu (7:4).

Možnosti použití

Busoni Ferruccio Benvenuto
Busoni Ferruccio Benvenuto , 1866-1924, italský skladatel, klavírista, dirigent, hudební teoretik a estetik. Podporoval používání nových stupnic a pokusy o čtvrttónovou hudbu. Navrhl třetinotónové intervaly.

Čím je řád soustavy k, tím je soustava rozmanitější, ale zároveň obtížněji

zvladatelná.

Soustavy s řádem, který je dělitelem čísla 12 (tj. 2,3,4,6)  jsou jen podmnožiny 12-ti tónové soustavy. Soustavy s řádem, který je násobkem čísla 12 (24,36,48,60,72..144…) její nadmnožiny (zdrobnění).

Nový tónový systém nemusí nutně zahrnovat v sobě starý, stačí když dokáže navozovat

obdobné energetické kontexty. Např. zachování kvinty je důležité pro přechod mezi soustavami  (5,3)=>(7,4)à (12,7) =>(19,11), nižší soustavy připomínají modality soustav vyšších.

Míra možného zdrobnění je omezena výškovou rozlišitelností lidského sluchu, dá se ale očekávat i možný posun této hranice (obdobně jako došlo k posunu hranice konsonance souzvuků…)

Mikrotonální soustavy předjímají hudbu budoucnosti. Vzhledem k omezeným možnostem člověka (10 prstů,...) se však zatím žádná příliš nerozšířila.

Nový svět pro mikrotonální soustavy otevírá až nástup počítačů a elektronické hudby.

V okamžiku kdy se nám hlouběji podaří proniknout do zákonitostí 12-ti tónové soustavy, dostane se nám příležitosti pokusit se výsledky extrapolovat.- aplikovat zákonitosti, které známe z 12-ti tónového systému.

Dosavadní neúspěch skladatelů v mikrointervalových soustavách nedokazuje, že jsou tyto v budoucnu nepoužitelné. Soustava 12-ti tónů, jak ji dnes známe prošla tisíciletým vývojem. V jeho průběhu se hledala nejen vhodná souznění, ale i 'efektivní' modality'. Pokud se s pomocí počítačů podaří určit 'efektivní modality' i mikrointervalových soustavách, můžeme brzy dospět k novým a dosud nepoznaným možnostem hudby.

Hába Alois
Hába Alois , 1893-1973, český skladatel a hudební teoretik, propagátor mikrointervalové hudby. Navrhl a prosadil obměny hudebních nástrojů pro čtvrttóny (harmonium, klavír, klarinet, trubka) a výrobu šestinotónového harmonia. Zabýval se i pokusy s dvanáctinotóny a pětinotóny. Pro mikrointervaly zavedl symboly.

Mikrotonální modality

Vedle modalit 12-ti tónové soustavy, z nich byla celá řada v hudební tvorbě rozpoznána a pojmenována, existuje nespočet mikrotonálních modalit o kterých víme jen velmi málo.

Řekové zaváděli mezi tóny půltónovývh intervalů čtvrttónové vsuvky (tzv.pykna) k melodickému utvrzení tónů. Řecká modalita 118411(8) sevyvinuta z dórské (dórické) 122212(2) tj. 244424(4).

Modalita  22-tónové indické hudby 432434(2) (tzv. Svaragrama) připomíná naši přirozenou modalitu (dur stupnici). Totéž platí i pro  985998(5) v 53-tónové soustavě (5-půltón, 8-malý celý tón, 9-velký celý tón).

Např. ve 24-tónové perské i arabské hudbě najdeme modality 352424(4) a 433433(4). K obdobným modalitám (např.3343124(4),..) vedou i modifikace 12-ti tónové soustavy (půlením některých intervalů) v indické hudbě (Šur a Afšāri). V 72 tónové arabsko-perské hudbě se používá přirozená modalita: 663663(6) a dále např. modality 436654(6), 436636(6), 474647(4) (modality jsou zkráceny číslem 2 na 36-ti tónové).

Návrh nástrojů

Klávesnice

 - efektivní struktury modalit např. v 12 tón. systemu     klávesy - bílé -

křesťanské mody    + 1 černá - harmonická dur i moll   - černé - čínská pentatonika

     + 1 bílá - blues

Kytara - umístit co nejvíce dur a moll souzvuků do rozsahu 4 pražců, minimalizovat, počet stisknutí strun; podle toho ladění strun.

Problémy s laděním

Ani po zavedení temperovaného ladění problémy definitivně nezmizely.  Při ladění klavíru se ladí čistě kvinty, chyba  (2-3 centy) se přenáší na oktávy.

Za předpokladu vyladění kvint je nutné oktávy zvětšit, což činí i někteří kytaristé (podlaďují basové struny).

Lidský sluch se navíc v okrajových pásmech (kmitočtů i intenzit) nechová lineárně-  ve vyšších polohách se některé intervaly zdají  užší.

Zesílením vyššího (nižšího) tónu nabýváme pocitu že je vyšší (nižší ). Krátké vysoké tóny (v důsledku rychlejšího doznívání) ale naopak slyšíme jako nižší (H. Meinel).

Ladění - systému - snaha o vyladění všech užívaných tónů    (temperovaně, pythagorejsky...)  - modality - vyladění jen jedné určité modality   (přirozené ladění...) - harmonie - dolaďování harmonického proudu