Schematická algebra - Vrstvení struktur

Vrstvením rozumíme rozložení instancí a druhů do úrovní.

Newton, Isaac
Newton, Isaac [njútn], 1642-1727, anglický fyzik a matematik, autor gravitačního zákona. Křivky zapisoval pomocí rovnic. Současně s Leibnitzem objevil infinitezimální počet. Definoval sílu jako změnu hybnosti, čímž vytvořil pole pro pozdější rozvoj tzv. vektorové mechaniky. Odvodil binomickou větu a využil ji k zdokonalení metody výpočtu čísla π.

Rozklad do úrovní

Binomická věta

Binomická věta udává vzorec pro výpočet výrazů (a+b)k. Koeficienty u jednotlivých výrazů as bk−s se nazývají binomické koeficienty f_binom_k_s.

Větu formuloval I.Newton, výpočet mocnin (a+b)k znali ale již dříve italští matematikové.

Mocniny (a+b)k vytváří systém G(2,k) v následujícím smyslu. Vnořování označíme závorkami []. (a + b)1= a + b (a + b)²=[a]²+2ab +[b]2 (a + b)³=[a]³+3a²b+3ab²+[b]3 (a + b)4=[a]4+4a³b+4a²b²+2[ab]²+ 4ab³+ [b]4 (a + b)5=[a]5+5a4b+10a³b²+10a²b³+5ab4+ [b]5 (a + b)6=[a]6+6a5b+12a4b²+3[a²b]²+18a³b³+2[ab]³+12a²b4+3[ab²]²+ 6ab5+[b]6

Protože součin a∙b nemusí být komutativní, není výraz a² ∙ b² obecně roven [a∙b]² (podobně a4 ∙ b² neodpovídá [a² ∙ b]², ...). V takovém případě je ale také ( a + b )² = [a]²+ ab + ba + [b]2... Vztah obdobný binomické větě odvodil Leibnitz pro výpočet n-té derivace součinu (tzv.Leibnitzův vzorec).

Binomické koeficienty se uplatňují také při výpočtech rozdílových (diferenčních) posloupností:

        Mocniny (Newton)  Derivace (Leibnitz)   Diference  
        (a±b)k           (uv)(k)                u(k)(n)
───────────────────────────────────────────────────────────
k = 1   a±b              u'v+uv'                ut+1− ut
k = 2   a²±2ab+b²        u''v+2u'v'+uv''        ut+2− 2ut+1 + ut

Vrstvení v binárním systému

    i gi  Binární schéma  Distanční schéma   Úroveň druhu
────────────────────────────────────────────────────────────── 1 0 0000 (0) 0 2 1 0001 0010 0100 1000 (4) 1 3 3 0011 0110 1100 1001 1(3) 2 4 5 0101 1010 2(2) 2 5 7 0111 1110 1101 1011 1 1(2) 3 6 15 1111 1 1 1 (1) 4
    Úroveň              0    1    2    3    4
    ────────────────────────────────────────────
    Všechny instance    1    4    6    4    1
    Vnořené instance    1    0    2    0    1
    Vlastní instance    0    4    4    4    0
    ────────────────────────────────────────────
    Všechny druhy       1    1    2    1    1
    Vnořené druhy       1    0    1    0    1
    Vlastní druhy       0    1    1    1    0

Binomické koeficienty určují rozložení počtu všech instancí do jednotlivých úrovní. Nás bude zajímat také struktura vlastních a vnořených instancí, resp. i druhů.

Spočítejme kolik instancí a druhů je na každé úrovni v systému G(2,4).

Vnořování ve vrstvách

Binomické koeficienty mocnin (a+b)k povstávají z vlastních instancí a z instancí vnořených z mocnin (a+b)d podle schématu:

   k=1:    {1} + {1}
            x     x
            1     1    
    
   k=2:  1(1) + {2} + 1(1)
                 x
                 1
   k=3:      1(1)+ {3} + {3} + 1(1)
                    x     x
                    1     1
                     2(2)   vnořené instance
                      +
   k=4:  1(1)+ {4} + {4} + {4} + 1(1)  vlastní instance
                x     x     x
                1     1     1       vlastní třídy
   k=5:      1(1)+ {5} + {10} + {10} +  {5} + 1(1)
                    x      x      x      x
                    1      1      1      1
                       3(3)  2(2)  3(3)
                        +     +     +
   k=6:    1(1)+ {6} + {6} + {6} + {6} + {6} +  1(1)
                  x     x     x     x     x
                  1     2     3     2     1
   k=7:  1(1)+ {7} + {7} + {7} + {7} + {7} + {7} +  1(1)
                x     x     x     x     x     x
                1     3     5     5     3     1
                                2(2)
                                 +
                    4(4)        4(4)        4(4)
                     +           +           +
   k=8: 1(1)+ {8} + {8} + {8} + {8} + {8} + {8} + {8} + 1(1)
               x     x     x     x     x     x     x
               1     3     7     8     7     3     1 

Zajímá nás vnořování systémů G(2,d) do G(2,k ), d|k, v jednotlivých úrovních. Schéma všech instancí (Pascalův trojůhelník) vzniká součtem vlastních instancí d(d), kde (d) značí počet vlastních druhů systému G(2,d).

Rozšíření pro n>2

Celkové počty instancí tvoří pro G(2,k) tzv. Pascalův trojúhelník, obecně pro G(n,k) aritmetické trojúhelníky se základem n.

 G(2,k) k/L            0   1   2   3   4
 ──────────────────────────────────────
 n=2    0           1
        1         1   1 
        2       1   2   1
        3     1   3   3   1
        4   1   4   6   4   1 

Čísla v Pascalově trojúhelníku se nazývají binomické koeficienty. Určují kolik cest vede z kořene stromu do daného vrcholu.

 k/L                         0   1   2   3  ...
 ──────────────────────────────────────────
 n=3  0                 1
      1             1   1   1
      2         1   2   3   2   1
      3     1   3   6   7   6   3  1
      4  1  4  10  16  19  16  10  4  1

Totéž platí obecně v aritmetických trojúhelnících.

Pro n=3 se strom rozvětvuje u vrcholu do tří směrů.

Trojúhelník G(3,k) určuje kolik je možností postupu krále z okraje šachovnice na okolní pole [Vilenkin].

Stejně jako instance celkem můžeme po úrovních rozdělit i vlastní instance:

Pro n=2: (a+b)^k
k/L     0  1  2  3  4
──────────────────────────────
n=2 0   0
    1   1   1
    2   0   2   0
    3   0   3   3   0
    4   0   4   4   4   0

Počty vnořených instancí jsou rozdílem počtů instancí celkem a vlastních instancí...

Pro n=3: (a+b+c)^k
      k/L                   0   1   2   3 ..
 ───────────────────────────────────────
 n=3  0                   0
      1               1   1   1
      2           0   2   2   2  0                        1  1  1 
      3        0  3   6   6   6  3  0                  1  2  2  2  1
      4     0  4  8  16  16  16  8  4  0            1  2  4  4  4  2  1
      5  0  5 15 30  45  50  45 30 15  5 0       1  3  6  9 10  9  6  3  1  

Druhy trojzvuků

V 12-ti tónové hudební soustavě je 19 druhů trojzvuků - viz následující distanční schemata: 11(10) 12(9) 13(8) 14(7) 15(6) 21(9) 22(8) 23(7) 24(6) 25(5) 31(8) 32(7) 33(6) 34(5) 41(7) 42(6) 43(5) 44(4) 51(6)

Např. schéma 21(9), tvoří 3-zvuk s celým tónem následovaným půltónem (např. d-e-f), schéma 34(5) vytváří mollový trojzvuk (např. a-c-e), a schéma 43(5) durový trojzvuk (např. c-e-g). Z těchto 19-ti druhů má 18 druhů trojzvuků po dvanácti transpozicích. Jeden jediný druh se schématem 44(4) zvětšený trojzvuk (např. c-e-g#) je vnořený. Tento druh má 4 instance. Proto (v 12-ti tónové soustavě) existuje 18∙12 = 216 vlastních instancí a 1∙4 vnořených instancí, tj. celkem 220 instancí trojzvuků a tyto trojzvuky tvoří 18 (vlastních) + 1 (vnořených) = 19 druhů.

Vrstvení instancí a druhů

Celkový počet vnořených instancí stejně tak jako vnořených druhů v systému s prvočíselným k je roven 2. Počet vlastních instancí je vždy k-násobkem počtu vlastních druhů:

V=k∙v

Způsob vnořování trojzvuků je znázorněn ve sloupci (3) následující tabulky:

 k (0)(1)(2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)(10)(11)(12)
─────────────────────────────────────────────────────────────────
12  1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66  12 1 všechny instance (M)
─────────────────────────────────────────────────────────────────
 1  1                                          1
 2  0                      2                   0
 3  0              3               3           0 vnořené instance (W)
 4  0          4           4           4       0
 6  0      6      12      18      12      6    0
────────────────────────────────────────────────────────────────
12  0 12 60 216 480 792 900 792 480 216 60  12 0 vlastní instance (V)
- − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
12  0  1  5  18  40  66  75  66  40  18  5   1 0  vlastní druhy (v)
─────────────────────────────────────────────────────────────────
1   1                                           1
2   0                      1                    0
3   0              1               1            0  vnořené druhy (w)
4   0          1           1           1        0
6   0      1       2       3       2      1     0
─────────────────────────────────────────────────────────────────
12  1  1  6  19  43  66  80  66  43  19  6   1  1  všechny druhy (m)

Počet instancí celkem (M) získáme zpětně z počtů vlastních instancí (V):

     M(12,0) =  V(12,0) + V(12,1)  = 0 + 1 = 1
     M(12,1) =  V(12,1) = 12
     M(12,2) =  V(12,2) + V(6,1)  = 60 + 6 = 66
     M(12,3) =  V(12,3) + V(4,1)  =216 + 4 = 220

Trojúhelníky

Rozpisem počtů instancí a druhů pro všechna G(2,k) získáme trojúhelníky čísel. Protože trojúhelníky jsou symetrické, stačí zapisovat jen jejich polovinu.

První sloupec zobrazuje řád k daného G-systému, druhý celkový počet prvků (instancí,druhů). V dalších sloupcích jsou počty prvků pro jednotlivé úrovně L=0..κ(k).

Trojúhelník binomických koeficientů (tzv. Pascalův trojúhelník) byl známý již před několika tisíci lety, byl nalezen ve starých čínských spisech.

Pascal, Blaise
Pascal, Blaise [paskal], 1623-1662, francouzský matematik, fyzik a filozof, konstruktér sčítacího stroje. Zabýval se geometrií, kombinatorikou, spolu s P.Fermatem položil základy teorie pravděpodobnosti. Některými svými úvahami předjímal integrální a diferenciální počet. Ukazuje, že člověka činí velikým jeho myšlení, zvláště pokud zrcadlí božskou podstatu.

Trojúhelníky instancí

Trojúhelník všech instancí
  k [M(2,k)] M(2,k,L)
  0 [     1] 1
  1 [     2] 1
  2 [     4] 1  2
  3 [     8] 1  3
  4 [    16] 1  4   6
  5 [    32] 1  5  10
  6 [    64] 1  6  15  20
  7 [   128] 1  7  21  35
  8 [   256] 1  8  28  56  70
  9 [   512] 1  9  36  84  126
 10 [  1024] 1 10  45 120  210   252
 11 [  2048] 1 11  55 165  330   462
 12 [  4096] 1 12  66 220  495   792   924
 13 [  8192] 1 13  78 286  715  1287  1716
 14 [ 16384] 1 14  91 364 1001  2002  3003  3432
 15 [ 32768] 1 15 105 455 1365  3003  5005  6435
 16 [ 65536] 1 16 120 560 1820  4368  8008 11440 12870
 17 [131072] 1 17 136 680 2380  6188 12376 19448 24310
 18 [262144] 1 18 153 816 3060  8568 18564 31824 43758 48620
 19 [524288] 1 19 171 969 3876 11628 27132 50388 75582 92378
Trojúhelník vnořených instancí
  k [W(2,k)] W(2,k,L)
  0 [     1] 1 
  1 [     0] 0 
  2 [     2] 1 0 
  3 [     2] 1 0  
  4 [     4] 1 0 2  
  5 [     2] 1 0 0 
  6 [    10] 1 0 3 2
  7 [     2] 1 0 0 0
  8 [    16] 1 0 4 0  6
  9 [     8] 1 0 0 3  0
 10 [    44] 1 0 5 0  0 32
 11 [     2] 1 0 0 0  0  0
 12 [    76] 1 0 6 4 15  0 24
 13 [     2] 1 0 0 0  0  0  0 
Trojúhelník vlastních instancí
  k [V(2,k)] V(2,k,L)
  0 [     1] 0 
  1 [     2] 1 
  2 [     2] 0  2   
  3 [     6] 0  3  
  4 [    12] 0  4   4      
  5 [    30] 0  5  10  
  6 [    54] 0  6  12  18
  7 [   126] 0  7  21  35
  8 [   240] 0  8  24  56   64
  9 [   504] 0  9  36  81  126
 10 [   990] 0 10  40 120  200   250
 11 [  2046] 0 11  55 165  330   462
 12 [  4020] 0 12  60 216  480   792   900
 13 [  8190] 0 13  78 286  715  1287  1716 


Trojúhelníky druhů

Trojúhelník všech druhů
  k [m(2,k)] m(2,k,L)
  0 [    1] 1 
  1 [    2] 1 
  2 [    3] 1 1   
  3 [    4] 1 1
  4 [    6] 1 1 2   
  5 [    8] 1 1 2 
  6 [   14] 1 1 3  4 
  7 [   20] 1 1 3  5
  8 [   36] 1 1 4  7 10
  9 [   60] 1 1 4 10 14
 10 [  108] 1 1 5 12 21 28
 11 [  188] 1 1 5 15 30 42
 12 [  352] 1 1 6 19 43 66  80
 13 [  632] 1 1 6 22 55 99 132 
Trojúhelník vnořených druhů
  k [w(2,k)] w(2,k,L)
  0 [    1] 1 
  1 [    0] 0 
  2 [    2] 1 0  
  3 [    2] 1 0  
  4 [    3] 1 0 1 
  5 [    2] 1 0 0 
  6 [    5] 1 0 1 1
  7 [    2] 1 0 0 0
  8 [    6] 1 0 1 0 2
  9 [    4] 1 0 0 1 0
 10 [    9] 1 0 1 0 2 1
 11 [    2] 1 0 0 0 0 0
 12 [   17] 1 0 1 1 3 0 5
 13 [    2] 1 0 0 0 0 0 0 
Trojúhelník vlastních druhů
  k [v(2,k)] v(2,k,L)
  0 [    0] 0 
  1 [    2] 1 
  2 [    1] 0 1
  3 [    2] 0 1 
  4 [    3] 0 1 1   
  5 [    6] 0 1 2  
  6 [    9] 0 1 2  3 
  7 [   18] 0 1 3  5
  8 [   30] 0 1 3  7   8
  9 [   56] 0 1 4  9  14
 10 [   99] 0 1 4 12  20  25
 11 [  186] 0 1 5 15  30  42
 12 [  335] 0 1 5 18  40  66  75
 13 [  630] 0 1 6 22  55  99 132 

Trojúhelníku vlastních druhů je dále věnována samostatná kapitola.

Substituce

Zúžit trojúhelníky na polovinu je možné také matematicky - substitucí. Dosaďme ve výrazech (a+b)k a=x a b=1/x a označme yj = xj+ 1/xj, tedy y1 = x+1/x, y2 = x²+1/x²... Koeficienty u vznikajících výrazů pokrývají právě polovinu koeficientů Pascalova trojůhelníka: y1 = y1 y1² = (x+1/x)² = x²+2+1/x² = y2+ 2 y1³ = (x+1/x)³ = x³+3(x+1/x)+1/x³ = y3+ 3y1 y14 = (x+1/x)³ = .... = y4+ 4y2+ 6

Goniometrické funkce

Vypočítejme výraz (c−s)5 podle binomické věty: Pátým řádkem Pascalova trojúhelníka je 1 5 10 10 5 1

a tedy (c−s)5 = c5 −5c4s +10c³s²−10c²s³+5cs4 −s5

Označme nyní s=sin(x), c= cos(x), t = tan(x). Platí: cos(5x) = c5 −10c³s² +5cs4 sin(5x) = 5c4s −10c²s³ +s5 tan(5x) = (t5 +10t³ +5t)/(1−10t²+5t4)

Kongruence trojúhelníků

Nahradíme-li čísla v trojúhelníku T jejich zbytky podle určitého modulu r, získáme nový trojúhelník T(r). Budeme pozorovat, jaké vlastnosti mají tyto trojúhelníky.

Trojúhelník všech instancí

Pascalův trojúhelník podle modulu 2 má fraktální strukturu a odpovídá tzv. Sierpinského trojúhelníku. Binární čísla v jednotlivých řádcích tvoří součiny lichých Fermatových čísel {3,5,15,17,51,85,255,257,...} (viz Gaussovy mnohoúhelníky).

  T(2)                        k L     B  Partition  Indexes
─────────────────────────────────────────────────────────────
             1                0 1     1  1   −
            1 1               1 2     3  3   0
           1 0 1              2 2     5  5   1
          1 1 1 1             3 4    15  3∙5       0,1
         1 0 0 0 1            4 2    17  17  2
        1 1 0 0 1 1           5 4    51  3∙17      0,2
       1 0 1 0 1 0 1          6 4    85  5∙17      1,2  
      1 1 1 1 1 1 1 1         7 8   255  3∙5∙17    0,1,2
     1 0 0 0 0 0 0 0 1        8 2   257  257       3
    1 1 0 0 0 0 0 0 1 1       9 4   771  3∙257     0,3
   1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1     10 4  1285  3∙257     1,3
  1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1    11 8  3855  3∙5∙257   0,1,3
 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1   12 4  4369  17∙257    2,3
1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1  13 8 13107  3∙17∙257  0,2,3 

Úroveň binárních čísel (tj.počet jedniček) v jednotlivých řádcích je dána výrazem L = 2m, kde m je počet prvočísel v rozkladu.
Pro k=2t čísla nabývají tvaru 2(2t)+1 (viz F-systémy).

     T(2)             k L  Polynomial 
───────────────────────────────────────────────────────────
         1            0 1  1
        1 1           1 2  x+1
       1 0 1          2 2  x²+1
      1 1 1 1         3 4  x³+x²+x+1
     1 0 0 0 1        4 2  x4+1 
    1 1 0 0 1 1       5 4  x5+x4+x+1 =(x4+1)∙(x+1)
   1 0 1 0 1 0 1      6 4  x6+x4+x²+1 =(x4+1)∙(x²+1)    
  1 1 1 1 1 1 1 1     7 8  x7+x6+x5+x4+x³+x²+x+1
 1 0 0 0 0 0 0 0 1    8 2  x8+1
1 1 0 0 0 0 0 0 1 1   9 4  x&sup9;+x8+x+1 =(x8+1)∙(x+1) 
Pro k=3 je: x³+x²+x+1=(x²+1)∙(x+1)= (x4−1)/(x−1), pro k=7: x7+x6+x5+x4+x³+x²+x+1=(x+1)∙(x²+1)∙(x4+1)=(x8−1)/(x−1).

Odvozené trojúhelníky

Trojúhelník vlastních druhů vzniká dělením z trojúhelníku vlastních instancí. Protože liché číslo má vždy jen liché dělitele a protože pro prvočíselná k se trojúhelníky vlastních a všech prvků (instancí, druhů) (až na krajní instance) kryjí, zůstává pro lichá prvočíselná k rozložení sudých a lichých čísel ve jmenovaných trojúhelnících stejné jako v Pascalově trojúhelníku.

Trojúhelník vlastních instancí má pro lichá k stejnou strukturu jako trojúhelník vlastních druhů. Pro sudá k jsou všechna čísla B v řádcích trojúhelníku vlastních instancí nulová.

Trojúhelník vlastních druhů

    T(2)                      k  L    B  Rozklad  Korekce
    ────────────────────────────────────────────────────────
    0                         0  0    0   0
    1 1                       1  2    3   3
    1                         2  1    1   1
    1 1                       3  2    3   3
    1 1 1                     4  3    7   7
    1 0 0 1                   5  2    9   3²
    1 0 1 0 1                 6  3   21   3∙7       3∙7
    1 1 1 1 1 1               7  6   63   3²∙7      3∙3∙7
    1 1 1 0 1 1 1             8  6  119   7∙17
    1 0 1 0 0 1 0 1           9  4  165   3∙5∙11    3∙5∙11
    1 0 0 0 1 0 0 0 1        10  3  273   3∙7∙13    3∙7∙13
    1 1 1 0 0 0 0 1 1 1      11  6  903   3∙7∙43    21∙43
    1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1    12  5 1571   1571
    1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1  13  6 2457   3³∙7∙13   7∙13∙27 

V upraveném rozkladu se objevují dvojice čísel a,b splňující vztah b=2a±1. Pro prvočíselná k<=13 existují vždy, najdeme je i pro vyšší hodnoty k?

Trojúhelník všech druhů

             T(2)                k   L     B  Partition
─────────────────────────────────────────────────────
               1                 0   1     1   1 
              1 1                1   2     3   3
             1 1 1               2   3     7   7
            1 1 1 1              3   4    15   3∙5
           1 1 0 1 1             4   4    27   3³
          1 1 0 0 1 1            5   4    51   3∙17
         1 1 1 0 1 1 1           6   6   119   7∙17 
        1 1 1 1 1 1 1 1          7   8   255   3∙5∙17
       1 1 0 1 0 1 0 1 1         8   6   427   7∙61
      1 1 0 0 0 0 0 0 1 1        9   4   771   3∙257
     1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1      10   8  1879   1879
    1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1     11   8  3855   3∙5∙257
   1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1    12   8  6939   3∙2313  
  1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1   13   8 13107   3∙17∙257 

V trojúhelníku vnořených instancí i v trojúhelníku vnořených druhů mají řádky

pro prvočíselná k tvar xk+1. V trojúhelníku vnořených instancí mají tento tvar i pro k=2t (stejně jako v Pascalově trojúhelníku).

Nulování trojúhelníků

Nulující posloupnosti

Označme čísla v k−tém řádku trojúhelníku c(k,s) a hledejme takovou posloupnost čísel d(s), tj.{d0,d1,d2,...}, aby platilo:

∑c(k,s)∙d(s) = 0 (pro s=0,..,k)

  d0+d1= 1-1= 0
  d0+2d1+d2= 1-2+1= 0
  d0+3d1+3d2+d3= 1-3+3-1= 0

Omezíme úvahy na posloupnosti s d0=1. K vynulování Pascalova trojúhelníka

je potřebná posloupnost {1,−1,1,−1,...}:

  d0+d1=1-1= 0
  d0+2d1+d2=1-2+1= 0
  d0+2d1+2d2+d3=1-2+2-1= 0
  d0+3d1+4d2+3d3+d4=1-3+4-3+1= 0

Tato posloupnost nuluje také trojúhelník

všech druhů bez krajních členů:

 d0+d1= 1 -1= 0
 d0+d1+d2= 1-1+0= 0
 d0+2d1+2d2+d3= 1-2+0+1= 0
 d0+2d1+3d2+2d3+d4= 1-2+0+2-1= 0

Trojúhelník vlastních druhů nuluje posloupnost

{1,−1,0,1,−1,0,...}:

Stirlingův trojúhelník 1.druhu nuluje jednotková posloupnost {1,1,1,1,...}, Stirlingův trojúhelník 2.druhu alternující posloupnost faktoriálů {1,−1,2,−6,24,−120,...}, viz Stirlingovy trojúhelníky.

Bernoulliova čísla

Nyní provedeme totéž, jen zapomeneme na poslední člen v každém řádku trojúhelníku vlastních druhů. Budeme sčítat:

∑c(k,s)∙d(s) = 0 (pro s=0,..,k−1)

(Analogicky bychom mohli místo posledního členu vynechat první a uvažovat výraz (b+1)k−bk, tj. tzv. Kroneckerovo δ (delta)).
V Pascalově trojúhelníku dostaneme soustavu rovnic:

 d0+2d1 = 0
 d0+3d1+3d2 = 0
 d0+4d1+6d2+4d3 = 0
 d0+5d1+10d2+10d3+5d4 = 0

Odtud (po dosazení d0=1) získáme posloupnost {1,−1/2,1/6,0,−1/30,0,1/42,0,−1/30,...} Členy této posloupnosti jsou tzv. Bernoulliova čísla. Všechna Bernouliova čísla s lichými indexy s výjimkou B1=−1/2 jsou rovna nule.

Čísla zavedl Jacob Bernoulli ve vzorci pro součet mocnin celých čísel. Používají se při součtování řad (např. součet Lerchových řad ∑nk∙f(n,k), kde f(n,k) jsou Fermatovy koeficienty, se vyjadřuje pomocí Bernouliových čísel), v teorii diferenčních posloupností, v Kummerově teorii regulárních prvočísel, v matematické analýze,...
V řadě x/(1−e−x) vystupují Bernouliova čísla jako koeficienty u xn/n!:

 d0+d1 = 0
 d0+2d1+2d2 = 0
 d0+2d1+3d2+2d3 = 0
 d0+3d1+5d2+5d3+3d4 = 0
 d0+3d1+7d2+8d3+7d4+3d5 = 0
x/(1−e−x) = 1 +(1/2)x+(1/6)x²/2!−(1/30)x4/4!+(1/42)x6/6!−...

Analogie Bernoulliových čísel

Z trojúhelníka vlastních druhů sestavíme rovnice:

Z nich (pro d0=1) dostaneme posloupnost

{1,−1,1/2,−1/4,+1/4,−5/12,..}.

  d0+2d1 = 0
  d0+2d1+2d2 = 0
  d0+3d1+4d2+3d3 = 0
  d0+3d1+5d2+5d3+3d4 = 0
Z trojúhelníka všech druhů (bez okrajových členů) je:

Odtud posloupnost {1,−1/2,1/6,−1/9,...}.

Möbiova funkce

Möbius, August Ferdinand
Möbius, August Ferdinand [], 1790-1868, německý mnohostranný vědec známý jako matematik svými pracemi z geometrie a topologie. Objevil jednostrannou plochu (tzv.Möbiův proužek). V projektivní geometrii zavedl homogenní souřadnice.

Tzv. Möbiovu funkce μ(k) funkci zavedl A.F.Möbius (r.1832), ale již předtím (r.1801) ji používal K.F.Gauss. Gauss ukázal, že součet primitivních kořenů pro daný modul závisí právě na této funkci a obdobné výpočty používal i později.

Parita prvočinitelů

Jakkoli-je definice Möbiovy funkce jednoduchá, je zvláštní a nedává předem tušit možnosti použití.

Hodnota μ(k) závisí na počtu prvočinitelů čísla k, určuje jejich paritu . Je-li počet sudý je μ(k)=+1, v opačném případě μ(k)=−1. Např. μ(15)=μ(3∙5) = +1, μ(30)=μ(2∙3∙5) = −1.
Pro číslo 1 je definováno μ(1)=1. Všechna prvočísla p mají lichou paritu, tj.μ(p)=−1.

Je-li n dělitelné nějakým čtvercem (tj. druhou mocninou, s výjimkou 1) je μ(n)=0. μ(k)=−1: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,30,31,37,41,42,43,47,... μ(k)= 0: 4,8,9,12,16,18,20,24,25,27,28,32,36,40,44,45,48,49,50,... μ(k)=+1: 1,6,10,14,15,21,22,26,33,34,35,38,39,46,...

Součet primitivních kořenů

Součet primitivních kořenů podle modulu r je určen Möbiovou funkcí μ(r−1):

  r   Primitivní kořeny      Součet  mod r  Rozklad r−1     μ(r−1)
  ──────────────────────────────────────────────────────────────── 
  11  2,6,7, 8                  23    1     10 = 2∙5         1 
  13  2,6,7,11                  26    0     12 = 3∙2²        0 
  31  3,11,12,13,17,21,22,24   123   −1     30 = 2∙3∙5      −1 

Součet přes dělitele

Následující součty probíhají přes všechny dělitele d čísla k, tj. d|k (k>1).

Součet Möbiových funkcí dělitelů je nula:

∑(μ(d)) = 0

Pro počet dělitelů τ(d) platí:

∑(μ(d)∙τ(k/d))=∑(μ(k/d)∙τ(d)) = 1

Pro součet dělitelů σ(d) platí:

∑(μ(d)∙σ(k/d))=∑(μ(k/d)∙σ(d)) = k

Eulerova funkce je určena vztahem:

φ(k)=∑(μ(d)∙k/d)=∑(μ(k/d)∙d)

Např. pro k=12 (φ(12) = 4):

 d   μ(d) k/d  μ(d)∙k/d   Děl.k/d      τ(k/d) μ(d)∙τ(k/d)  σ(k/d)  μ(d)∙σ(k/d)
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
 1    1    12    12       1,2,3,4,6,12   6        6         28        28  
 2   −1     6    −6       1,2,3,6        4       −4         12       −12
 3   −1     4    −4       1,2,4          3       −3          7        −7    
 4    0     3     0       1,3            2        0          4         0 
 6    1     2     2       1,2            2        2          3         3 
12    0     1     0       1              1        0          1         0 
─────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
 x   ∑0     x     4                      x        1          x        12 
Landau, Edmund
Landau, Edmund [], 1877-1938, německý matematik. Zabýval se teorií prvočísel a Riemannovou zeta funkcí.

Mangoldtův vztah

E.Landau dokázal, že platí:

∑(μ(n)/n) = 0

pro n=1..∞

Tj.:

1−1/2−1/3−1/5+1/6−1/7+1/10−1/11−1/13+1/14+1/15−1/17−1/19+... = 0

Binomické vlastní instance

Uvažujme případ k=6 binomické rovnice xk−1=0 (viz). Systém M6(x) se skládá z M2(x) a M3(x), přičemž do obou naposledy jmenovaných vstupuje M1(x) (viz). Rozepišme zkráceně složení systémů a porovnejme složení výrazů s hodnotami Möbiovy funkce pro jednotlivá čísla d|k.

   d  k/d  μ(d)
  ──────────────────────────────
   1   6    1    M1 = V1 
   2   3   −1    M2 = V1∙V2 
   3   2   −1    M3 = V1∙V3
   6   1    1    M6 = V1∙V2∙V3∙V6 

Vyčíslíme V6; výrazy Mk/d pro která je μ(d)=1 jsou v čitateli, výrazy s μ(d)=−1 ve jmenovateli: V6 = M6/(V1∙V2∙V3) = M6∙M1/(M2∙M3)

Obecně platí:

Vk(x) = ∏[Mk/d(x)]μ(d)

Aplikace v G-systémech

Počet vlastních druhů

Gauss uvádí následující pravidlo k určení počtu vlastních druhů [Gauss II]:

Nyní je snadné z této věty odvodit samotný význam výrazu (n); pro stručnost ale vypustíme výpočet, který není těžký. Jestliže takto n= aa bb cc..., kde a,b,c,... jsou různá prvočísla, pak n(n)=pn − ∑pn/a+ ∑pn/ab−∑pn/abc+...,

kde ∑pn/abc.. označuje skupinu všech výrazů typu pn/abc.., kde veličiny a,b,c,... se jakkoliv mezi sebou přeskupují.

Tak například pro n=36: 36(36)=p36−p18−p12+p6

Ujasněme si uvedený příklad. Číslo 36 má rozklad v součin prvočinitelů 36 = 2²∙3². Jednotlivé členy výrazu pro 36∙v(p,36) musí mít proto exponenty: 36 = 36, 36/2 = 18, 36/3 = 12 a 36/2/3 = 6

Podle Gaussova pravidla určíme počet vlastních druhů v(n,36) ze vztahu:

v(n,36) = (n36−n18−n12+n6)/36

Povšimněme si, že znaménko je určeno hodnotami Möbiovy funkce pro jednotlivé dělitele čísla 36.

Vrstvení instancí a druhů

Při odvozování čísel tabulky vrstvení instancí a druhů je možné využít Möbiovy funkce [Read].

Z počtu nk instancí dostaneme hodnotu V(2,12) odpočtem vnořených instancí, tj. těch, které mají d transpozic, kde d|k (d≤k):

V(n,k) = ∑(μ(k/d)∙nd), pro d|k

Pro n=2, k=12:

   d   k/d   nd  μ(k/d)  μ(k/d)∙nd  M(n,k)−V(n,d)
  ────────────────────────────────────────────────────────
  12    1     4096      1   4096     4096
   6    2       64     −1    −64     −(6+12+18+12+6)=−54
   4    3       16     −1    −16     −(4+4+4)=−12
   3    4        8      0      0     −(3+3)=−6
   2    6        4     +1     +4     −2
   1   12        2      0      0     −(1+1)=−2
  ────────────────────────────────────────────────────────
                            4020     4020

Platí V(2,12) = 4020 = 12∙335=12∙v(12,2), tj. vztah dává správný počet vlastních instancí V(n,k). Odpočty (např.−64,−16) resp. zápočty (+4) instancí ale nevyjadřují přímo počty vnořených instancí z jednotlivých G(n,d).

Gaussova věta

Protože víme, že počet vlastních instancí musí být vždy dělitelný řádem k, je zřejmé, že platí: V(n,k) ≡ 0 (mod k)

Tedy pro n,kεN platí [Narkiewicz] (součet pro d|k): ∑(μ(k/d) nd) ≡ 0 (mod k)

Vztah dokázal Gauss (1846) pro kεP, důkaz pro kεN doplnil později J.A.Serret.

Např. pro n=2 pro k=3: 21μ(3)+ 2³μ(1) = 2∙(−1)+8 = 6 ≡ 0 (mod 3) pro k=9: 21μ(9)+ 2³μ(3)+ 2&sup9; μ(1)= 2∙0 +8∙(−1)+ 512= 504 ≡ 0 (mod 9) pro k=6: 21μ(6)+ 2²μ(3)+ 2³ μ(2) + 26 μ(1)= = 2∙1 +4∙(−1)+ 8∙(−1) + 64 = 54 ≡ 0 (mod 6)

Sternekův vztah

Nechť F(n) = ∏f(n/d)μ(d). Pak každé prvočíslo, které dělí F(n), dělí také f(n). ale nedělí f(i) pro i=1,2,...,n−1 (R.D.von Sternek,1896).

Dedekind, Richard
Dedekind, Richard [], 1831-1916, německý matematik, autor teorie iracionalit. Zavedl pojem algebraického tělesa (pole). Definoval iracionální čísla formálně, bez pomoci geometrie, je autorem tzv.Dedkindova řezu. Vypracoval axiomatický základ přirozených čísel. Využil řeckých axiomatických systémů (podle Eudoxových myšlenkových postupů).

Zákon inverze číselných funkcí

Následující dva vztahy jsou ekvivalentní:
(Dedekind (1857), Liouville (1857)),[Vinogradov]

∑ f(d) = g(k), pro d|k, k≥1

∑ μ(d) g(k/d) = f(k) pro d|k, k≥1

Obměna binomické věty

V následujících odstavcích ukážeme, že zavedení diferencí ve tvaru u'(t) = ut+1− ut se v určitých případech jeví jako nepřirozené, přičemž vhodnějším určením je u'(t) = ut+1−a∙ut, kde a je určité číslo.

Mocniny algebraických čísel

Uvažujme mocniny algebraických čísel (a+b√d)t = vt+ ut√d. Začneme s případy a=b=1 pro d=2 a d=3:

  (1+√2)1 =  1 +  1√2  (1+√3)1 =  1 +  1√3
  (1+√2)2 =  3 +  2√2  (1+√3)2 =  4 +  2√3
  (1+√2)3 =  7 +  5√2  (1+√3)3 = 10 +  6√3
  (1+√2)4 = 17 + 12√2  (1+√3)4 = 28 +  16√3
  (1+√2)5 = 41 + 29√2  (1+√3)5 = 76 +  44√3
  (1+√2)6 = 99 + 70√2  (1+√3)6 =208 + 120√3

Čísla vt zde tvoří první rozdílovou posloupnost čísel ut:

Koeficienty (1+√2)k                 Koeficienty (1+√3)k
─────────────────────────────────────────────────────────
1  2  5  12  29  70 169  s(0,t)=ut  1 2  6  16  44  120 328..
  1  3  7   17  41  99 . s(1,t)=vt    1 4  10  28  76  208 .
    2  4  10   24  58 .. s(2,t)        3  6   18  48 132 ..
      2  6  14   34  ... s(3,t)          3  12  30  84 ..
        4  8   20    ... s(4,t)            9   18  54 ..
         4  12  ...      s(5,t)              9   36 ...
          8   ..         s(6,t)                27 ...

Pisotova čísla

Tzv. Pisotova čísla mají tu vlastnost, že povýšena na vysoký exponent se velmi blíží číslům přirozeným. Např. číslo [(√ 5+1)/2]99: má za desetinou čárkou 20 nul, číslo [(√ 5+1)/2]100: 20 devítek.

V předcházejících schematech si povšimněme posloupnosti poměrů:
{ 1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,99/70,239/169,... }. Hodnoty zlomků se v limitě blíží hodnotě √2.
Proto je 5∙√2=7.07107, 29∙√2 = 41.01219, 169∙√2 = 239.00209. Odtud pramení blížení se mocnin algebraických čísel k přirozeným číslům.

Rozdílové posloupnosti

Označme h-tou rozdílovou posloupnost s(h,t). Vždy ob jeden řádek se každá z posloupností pro d=2, zdvojnásobí, např. {2,6,14,34,..} = 2∙ {1,3,7,17,..}, pro d=3 ztrojnásobí , např. {3,12,30,84,..} = 3∙ {1,4,10,28,..}. V případě a=b=1 platí:

s(h+2,t) = d ∙ s(h,t)

Pro záporná d se posloupnosti stanou méně pravidelnými, ale vztah mezi rozdílovými posloupnostmi zůstává zachován:

Koeficienty  (1+√−2)k  
──────────────────────────────────────────────────
  +1  +2  +1  −4  −11 −10  +13   +56  ... s(0,t)=ut
    +1  −1  −5  −7  +1    +23  +43 ...    s(1,t)=vt
      −2  −4  −2  +8   +22  +20 ...       s(2,t)    
        −2  +2  +10 +14  −2 ...           s(3,t)
           4   8   4  −16  ...            s(4,t)
             4  −4  −20 ...               s(5,t)
              −8 −16   ...                s(6,t)

Rekurentní vztahy

Vztah s(h+2,t) = d ∙ s(h,t) přepišme na tvar diferenční rovnice u''(t) − u(t)∙d = 0.


Za předpokladu, že platí: u'(t) = ut+1−ut
u''(t) = ut+2−2ut+1+ ut

dostáváme: u''(t) − u(t)∙d = 0
ut+2−2ut+1+ ut− ut∙d = 0
ut+2 = 2ut+1+(d−1)ut

resp.

ut = 2ut−1+(d−1)∙ut−2

V případě a=b=1 již nemusíme mocniny algebraických čísel počítat. Koeficienty ut získáme z uvedeného rekurentního vztahu, koeficienty vt jsou jejich první rozdílovou posloupností.
Např. pro d=2, ut = 2ut−1+ ut−2, tj. ut = {1, 2, 2∙2+1=5, 2∙5+2=12, 2∙12+5 = 29, ...}

Obecný případ mocnin

V obecném případě mocnin (a+b√d)t uvedené vztahy selhávají, pokud nezměníme postup výpočtu rozdílových posloupností.

Např. v případech a=2 b=1 pro d=2 a d=3 dostáváme:

(2+√2)1 =  2 +  1√2          (2+√3)1 =  2 + 1√3
(2+√2)2 =  6 +  4√2          (2+√3)2 =  7 + 4√3
(2+√2)3 = 20 + 14√2          (2+√3)3 = 26 + 15√3
(2+√2)4 = 68 + 48√2          (2+√3)4 = 97 + 56√3
(2+√2)5 =232 +164√2          (2+√3)5 =362 +209√3

Posloupnost vt netvoří rozdílovou posloupnost ut a ani po rozpisu rozdílových posloupností vt či ut nedostaneme vztahy analogické se vztahy v předchozích odstavcích.

Upravme vztahy pro výpočet rozdílových posloupností: u'(t) = ut+1−a∙ut

u''(t)= (ut+2−a∙ut+1)− (ut+1−a∙ut)= ut+2−(a+1)ut+1+ a∙ut

Dostaneme:

 Koeficienty (2+√2)k      Koeficienty (2+√3)k
 ───────────────────────────────────────────────────────────
 1  4  14  48  164 ...    s(0,t)=ut   1  4  15  56  209 ...
  2  6   20  68  ...      s(1,t)=vt     2  7  26  97 ...
    2  8   28   ...       s(2,t)         3  12 45 ...      
      4  12  ...          s(3,t)           6  21 ...     
        4   ...           s(4,t)             9  ...

Posloupnost vt se stává rozdílovou posloupností ut a platí i dříve odvozený vztah:

s(h+2,t) = d ∙ s(h,t)

Symbolický zápis

Mocniny (a+b√d)t:

(a+b√d)1=  a   + b√d
(a+b√d)²= a²+  b²d     + b(2a)√d
(a+b√d)³= a³+ 3ab²d   + b(3a²+b²d)√d
(a+b√d)4= a4+ 6a²b²d+  b4d²    + b(4a³+4ab²d)√d
(a+b√d)5= a5+10a³b²d+  5ab4d²  +  b(5a4+10a²b²d+b4d²)√d
(a+b√d)6= a6+15a4b²d+15a²b4d²+b6d3  + b(6a5+20a³b²d+6ab4d)√d

Rozdílové posloupnosti:

1  2a  3a²+b²d  4a³+4ab²d  5a4+10a²b²d+b4d²  a5+6ab4d²+20a³b²d
    a   a²+b²d a³+3ab²d  a4+6a²b²d+b4d² a5+10a³b²d+5ab4d²
      b²d  2ab²d  3a²b²d+b4d²  4a³b²d+4ab4d²
          ab²d  a²b²d+b4d²  a³b²d+ 3ab4d²
              b4d²  2ab4d²
                  ab4

V případě, kdy rozdílové posloupnosti počítáme podle vztahu u'(t) = ut+1−a∙ut jsou koeficienty mocnin algebraických čísel určeny rekurentními posloupnostmi podle vztahu:

s(h+2,t) = b²d ∙ s(h,t)

Zlaté číslo

V souvislosti s Fibonacciho posloupností a zlatým řezem se číslo (√5−1)/2 nazývá zlaté číslo. Obdobně bylo odvozeno také stříbrné číslo ((√8−2)/2 a bronzové číslo (√13−3)/2. Pro taková čísla xk platí xk = 1/(k+xk), tedy xk je (kladným) řešením rovnice x²+kx−1 =0. Např. pro k=2 dává rovnice x²+2x−1=0 řešení (−2+√8)/2 [= √2−1], tedy stříbrné číslo.

Eulerovo číslo

Z posloupnosti faktoriálů a nadfaktoriálů (viz Faktoriály) bychom mohli (v analogii k předchozím odstavcům) vystavět algebraická čísla:

   2 +  1√d     326 + 120√d    
   5 +  2√d    1957 + 720√d 
  16 +  6√d    .... 
  65 + 24√d

Hodnoty zlomků { 2/1,5/2,16/6,65/24,326/120,1957/720,... } se v limitě blíží Eulerovu číslu e. Bylo by možné postavit operace (zvolit hodnotu d,..) tak, aby mezi těmito algebraickými čísly existoval (mocninný) vztah?