Schematická algebra - Gausssova enumerace

Enumerace počtu druhů v G-systémech je shodná s enumerací počtu tříd rovnic v Gaussově obecné teorie rovnic. K.F.Gauss byl pravděpodobně první, kdo znal a popsal tyto matematické konstrukce. Stejný výraz pro počet druhů je možné určit také pomocí Pólyovy enumerace.

Enumerace prostých polynomů

V následujících odstavcích se pokusíme porovnat teorii G-systémů s originální Gaussovu teorií prostých polynomů (funkcí). V obou teoriích se objevuje tentýž algoritmus enumerace:

Prostých polynomů stupně k podle modulu n je právě tolik, kolik je vlastních druhů v systému G(n,k). Existuje nějaký vztah mezi koeficienty prostých polynomů a instancemi vlastních druhů?!

Originální Gaussova pojednání jsou čerpána z §330-§347 kapitoly II. (Obecná pojednání o kongruencích) Gaussovy Nauky o zbytcích. [Gauss,II].

Prosté polynomy

Polynomy nazveme prosté (nerozložitelné, ireducibilní) jestliže se nerozpadají na žádné polynomy nižšího stupně. Libovolný polynom je buď prostý, nebo sestavený z prostých polynomů nižších stupňů. Každý polynom může být sestaven z prostých polynomů jedině jedním způsobem.

Všechny polynomy prvního stupně jsou prosté. Ze všech prostých polynomů mohou sloužit k nalezení reálných kořenů jen polynomy prvního stupně.

Polynomy druhého stupně jsou buď prosté nebo sestavené ze dvou polynomů prvního stupně. Polynomy (v oboru komplexních) stupně vyššího než prvého (v důsledku základní věty algebry) jsou všechny rozložitelné (reducibilní).

Eisenstein Gotthold
Eisenstein Gotthold, [], 1823-1852, německý matematik. Zabýval se teorií čísel, teorií eliptických funkcí, eliptickými integrály a teorií forem.
Eisensteinovo kriterium

Polynom s koeficienty [an,an−1,...a1,a0] z oboru Z je prostý v případě, kdy an=1, p|an−1,...,a0, ale nikoliv p² | a0.
Např. x²+6x+3 je prostý, zatímco x²+6x+9 nikoliv.

Někdy je k použití kriteria nutné polynom nejprve upravit.
Např. x²+x+1 je prostý proto, že po substituci x =(t+1) přejde na: (t+1)²+(t+1)+1 = t² + 3t+ 3, tj. na polynom, u kterého je možné podle Eisensteinova kriteria nerozložitelnost určit.

Polynomy a kongruence

Stejné pojmenování použijeme i v případě, kdy polynomy nepoužíváme k výstavbě rovnic, ale kongruencí P(x)≡0 (mod r).

Např. polynomy x² +2x +1 a x² +x +2 podle modulu n=3.

    Polynom  F (mod 3)   F(0)  F(1)  F(2)
    ───────────────────────────────────────────
    x²  +x        +2        2     1     2
    x² +2x        +1        1     1     0

Polynom P(x) (stupně vyššího než prvního) je prostý, když kongruence P(x)≡0 (mod r) nemá reálné kořeny. Dosazujeme-li za x postupně hodnoty 0,1,..,(n−1) je prostý polynom ten, který pro žádnou z hodnot nedá (podle modulu n) výsledek 0.

Polynom x² +x +2 (mod 3) je prostý, x² +2x +1 (mod 3) nikoliv.

Když P(x)≡ [Q(x)]² − z (mod r) tak P(x) je prostý, když číslo z není kvadratickým zbytkem (mod r).

Např. polynom x²+x+1 (mod 5) je prostý, protože x²+x+1≡(x−2)²−3 (mod 5) a 3 je kvadratický nezbytek podle modulu 5 (je v druhém řádku R(4,2,5)):

    R(4,2,5)
    0           x²+x
    1  4        x²+x+1  x²+x+4
    2  3        x²+x+2  x²+x+3
    5           x²+x+5

Celkový počet polynomů

V dalším textu omezíme zkoumání na na polynomy, jejichž nejvyšší člen má koeficient ak=1. Všechny proměnlivé členy polynomu (tj. členy kromě prvního) nazveme určující členy. V polynomu Pk(x) = xk + ak−1∙xk−1 + ak−2∙xk−2 + ... je k koeficientů ai, z nichž každý může nabývat (podle modulu n) n hodnot 0,1,..n−1, tj. ai ≡ 0,1,2,3,...,n−1 (mod n),

Počet všech různých polynomů Pk(x) (mod n) je roven nk.

Přitom existuje:

n různých polynomů prvního stupně (x,x+1,x+2,...,x+n−1) n² různých polynomů druhého stupně

...

nk různých polynomů k-tého stupně

Počet prostých polynomů

Zajímá nás počet všech různých (nekongruentních) prostých polynomů každého stupně. Přitom zavedeme následující označení počtu polynomů:

(1) prosté prvního stupně, (2) prosté druhého stupně atd.,

(1²)  sestavené ze dvou prostých polynomů prvního stupně

(1)(2³) sestavené z jednoho prostého polynomu prvního stupně a tří prostých  polynomů druhého stupně


Lineární polynomy

Všechny polynomy prvního stupně jsou prosté:

    Polynomy            Počet      Označení
    ──────────────────────────────────────────
    1. stupně celkem      n         n1 
    Prosté 1. stupně      n         (1)
Kvadratické polynomy

Všechny polynom druhého stupně jsou buď sestaveny ze dvou polynomů prvního stupně, nebo jsou prosté. Počet dvojic sestavených z p různých předmětů (včetně kombinací stejných předmětů) je n(n+1)/2. Prostých polynomů je proto n²−n(n+1)/2=1/2(n²−n).

    Polynomy                            Počet            Označení
    ───────────────────────────────────────────────────────────────
    2. stupně celkem                    n²                n²
    Ze dvou prostých polynomů 1.stupně  n(n+1)/2          (1²)
    Prosté 2. stupně                    1/2 (n²−n)       (2)

Porovnání s vlastními druhy

Pro n=3 (tj. mod 3) ,k=2 (z celkového počtu 3² = 9-ti polynomů) existují 3 prosté polynomy: x²+1, x² +x+2, x² +2x +2:

 (2) = 1/2(n2−n) = 1/2(32−3)= 3 

Systém G(3,2):

Coef.  F(x) mod 3  F(0) F(1) F(2)
──────────────────────────────────
00     x²           0    1    1
01     x²     +1    1    2    2  *
10     x²  +x       0    2    0
02     x²     +2    2    0    0
20     x² +2x       0    0    2
11     x²  +x +1    1    0    1
21     x² +2x +1    1    1    0
12     x²  +x +2    2    1    2  *
22     x² +2x +2    2    2    1  * 

V systému G(3,2) jsou právě 3 vlastní druhy:

  0             00
  1     3       01   10   *
  2     6       02   20   *
  4             11
  5     7       12   21   *
  8             22 

Existuje nějaký vztah mezi koeficienty (01,12,22) a vlastními druhy G(3,2)?!


Kubické polynomy
Obdobně jako u kvadratických polynomů:
Polynomy                                 Počet       Označení
─────────────────────────────────────────────────────────────────────
3. stupně celkem                            n³           n³
Ze třech prostých polynomů 1.stupně   n(n+1)(n+2)/6     (1³)
Obsahující prostý polynom 2.stupně    n ∙ 1/2(n²−n)    (1)(2)
─────────────────────────────────────────────────────────────────────
Prosté 3. stupně                         1/3 (n³−n)      (3) 

Gaussův vztah

Gauss předložil vztahy pro vyčíslení počtu prostých polynomů ve tvaru:

 nk = ∑d(d), d|k 

Např.:

  n     = (1)                         = (1)
  n2 = (12)+ (2)                      = 2(2) + (1)
  n3 = (13)+ (1∙2)+ (3)               = 3(3) + (1)
  n4 = (14)+ (12∙2)+ (1∙3)+ (22)+ (4)  = 4(4) + 2(2) + (1)
where
 (1)    =  n              (2) = 1/2(n²−n)          (3) = 1/3(n³−n)
 (1²)   =  n(n+1)/2   ...
 (1³)   =  n(n+1)(n+2)/6 

tj. v naší terminologii (viz G-systémy):

 nk = ∑ d∙v(n,d); pro d|k 

V následujících odstavcích je nastíněno Gaussovo odvození tohoto vztahu.

Celkový počet polynomů

Výraz (1h1 2h2 3h3...) vyjadřuje počet polynomů, složených z h1 prostých polynomů 1. stupně, h2 prostých polynomů 2. stupně, h3 prostých polynomů 3. stupně, ... Stupeň každého z těchto polynomů je h1+2h2+3h3+... (viz Polynomické výrazy).
Souhrn všech výrazů (1h1)(2h2)(3h3)..., pro které h1+2h2+3h3+... ...=k, vyčerpává všechny polynomy k-tého stupně a proto je roven nk.

Vnořování polynomů

Nejvyšší člen výrazu (n) je roven nk/k, a jestliže k je prvočíslo, tak se od tohoto členu odečítá n/k:

 Polynomy            Počet    Označení
────────────────────────────────────────────
 Prosté 1. stupně      n          (1)
 Prosté 2. stupně     1/2 (n²−n)  (2)
 Prosté 3. stupně     1/3 (n³−n)  (3) 

Z těchto vztahů plyne celkový počet polynomů (pro kεP):

 n=(1)   n²=2(2)+(1)   n³=3(3)+(1) 

Pro n=3:

 Typ polynomů                Polynomy                Počet
 ──────────────────────────────────────────────────────────────
 Linear prosté       (k=1)    x,    x+1,    x+2       (1)  = 3
 ──────────────────────────────────────────────────────────────
 Kvadratické složené (k=2)   x²,   x²+x,    x²+2x     (1²) = 6   
                             x²+2, x²+x+1,  x²+2x+1    
───────────────────────────────────────────────────────────────
 Kvadratické prosté  (k=2)   x²+1, x²+x+2,  x²+2x+2   (2)  = 3  

Platí:

    n² =(1²) + (2) = 6 + 3 = 9
    n² = 2(2)+(1) = 2∙3+3 = 9     (tj. 2∙v(3,2) + v(3,1))

Součty přes dělitele

Jestliže a,b,c,d,.. jsou děliteli čísla k, tak

  nk = a(a)+b(b)+...

Mezi dělitele čísla k vždy patří 1 a k. Jestliže tedy 1,d,d',...,k jsou všechny možné dělitele čísla k tak:

  nk = (1)+d(d)+d'(d')+...+k(k)

Součin (k) prostých polynomů, které mají stupeň k, bude mít stupeň k(k) a tak tomu bude i u ostatních součinů. Proto součin všech prostých polynomů stupňů 1,d,d',..,k má stupeň nk.

Poznámky k diskriminantu

Kvadratické:   (b∙b−4∙c) mod p = 2

        3:[ 0, 1],[ 1, 2],[ 2, 2]
        5:[ 0, 2],[ 1, 1],[ 2, 3],[ 3, 3],[ 4, 1]
        6:[ 0, 1],[ 0, 4],[ 2, 2],[ 2, 5],[ 4, 2],[ 4, 5]
        7:[ 0, 3],[ 1, 5],[ 2, 4],[ 3, 0],[ 4, 0],[ 5, 4],[ 6, 5]

Kubické:   (4∙b∙b∙b+27∙c∙c) mod p = 2

        3:[ 2, 0],[ 2, 1],[ 2, 2],
        5:[ 0, 1],[ 0, 4],[ 1, 2],[ 1, 3],[ 2, 0],
        6:[ 2, 0],[ 2, 2],[ 2, 4],[ 5, 0],[ 5, 2],[ 5, 4],
        7:[ 1, 3],[ 1, 4],[ 2, 3],[ 2, 4],[ 3, 1],[ 3, 6],[ 4, 3],[ 4, 4],[ 5, 1],[ 5, 6],[ 6, 1],[ 6, 6]

Součiny polynomů

Stirlingovy rovnice

Uvažujme rovnice s-tého stupně, jejichž kořeny jsou čísla 1,2,3,...s.
Takové rovnice vznikají součinem polynomů: (x−1)(x−2)(x−3).....(x−s)

Začněme násobit postupně zleva:

  s  Součinitelé            Rovnice
 ──────────────────────────────────────────────────────────
  1  (x−1)                  x−1  = 0
  2  (x−1)(x−2)             x²−3x+2    = 0
  3  (x−1)(x−2)(x−3)        x³−6x²+11x−6    = 0
  4  (x−1)(x−2)(x−3)(x−4)   x4−10x³+35x²−50x+24 = 0 

Koeficienty rovnic jsou Stirlingova čísla (viz Rekurentní posloupnosti)

Součiny prostých polynomů 1.stupně

Když číslo p=s+1 je prvočíslo, tak uvedené součiny obsahují všechny prosté polynomy podle modulu p:

 k  Součinitelé             Kongruence
────────────────────────────────────────────────────────────────────────
 2  (x−1)                   x−1  ≡ x −1 (mod 2)
 3  (x−1)(x−2)              x²−3x+2 ≡ x²−1 (mod 3)
 5  (x−1)(x−2)(x−3)(x−4)    x4−10x³+35x²−50x+24 ≡ x4−1 (mod 5)           
†㑠ŏҰ
㑠ŏ쉸mᶐڅ} ǽ㑠ŏҰ†㑠ŏ쉸mসڅo#l㑠ŏ쉸mᶐڅ“4ı㑠ŏ쉸mসڅl$㑠ŏ쉸mᶐڅ‚CÉ㑠ŏ쉸mᶐڅ’3İ㑠ŏ쉸mᶐڅ‘2į㑠ŏ쉸mᶐڅ1Į㑠ŏ쉸mᶐڅ0ĭ㑠ŏ쉸mᶐڅŽZɚ㑠ŏ쉸mᶐڅZə㑠ŏ쉸mᶐڅŒǹ㑠ŏ쉸mᶐڅ‹YǺ㑠ŏ쉸mᶐڅŠ

Podle malé Fermatovy věty jsou prosté polynomy (podle modulu n) děliteli výrazu xp−x = x ∙ (xp−1 − 1), tj. platí:

 P(x) | (xp−1 − 1) 

Součiny prostých polynomů

Vypočítáme součin všech prostých polynomů stupně 1 a 2 (tj. lineárních a kvadratických) podle modulu n=2 a 3.

Modul n=2:

 G(2,1):   x(x−1)         ≡ x²−x
 G(2,2):  (x²+x+1)        ≡ x²+x+1
          (x²−x)∙(x²+x+1) ≡ x4− x 

Modul n=3:

  G(3,1):   x(x−1)(x−2)                  ≡ x³−x
  G(3,2):  (x²+1)(x²+x+2)(x²+2x+2)       ≡ x6+x4+x²+1
           (x³−x)∙(x6+x4+x²+1) ≡ x9 − x 

Platí:

 ∏P(x) | (x(nk)−x) 

tj. součiny prostých polynomů jsou děliteli výrazu (x(nk) − x), kde n je modul a k stupeň prostých polynomů.

Nasycené systémy

Umocňování polynomu

Zajímá nás, co se odehrává při umocňování výrazu (a+b+c ...)k s prvky v závorce.

Pro k≤n (kde n je počet prvků a,b,c,..) ve vazbách 'reaguje' vždy právě k prvků.
Např. při k=2 a n=2,3:

 k-tá mocnina n-členu                         Symbolický zápis
 ─────────────────────────────────────────────────────────────────
 (a+b)²   = a² + 2ab + b²                      2[x²]+ 1[2xy]
 (a+b+c)² = a² + 2ab + b² + 2bc + c² + 2ca     2[x²]+ 3[2xy] 

Přitom koeficienty jsou pro dané k a různá n stejné. Např. členu 2ab z G(2,2) odpovídají analogické členy 2ab+2bc+2ca v G(3,2). Výrazy tak můžeme zapisovat symbolicky (např. pomocí x,y,z,..) přičemž za jednotlivé symboly je možné dosadit permutace a,b,c,d...

Symbolické zápisy

Symbolické zápisy pro n=2..4:

    k=2:
    (a+b)2       2∙[x²]+ 1∙[2xy]
    (a+b+c)2     2∙[x²]+ 3∙[2xy]
    (a+b+c+d)2   2∙[x²]+ 6∙[2xy]
    ─────────────────────────────────
    k=3:
    (a+b)3       3∙[x³]+  2∙[3x²y]
    (a+b+c)3     3∙[x³]+  6∙[3x²y]+ 1∙[6xyz]
    (a+b+c+d)3   3∙[x³]+ 12∙[3x²y]+ 4∙[6xyz]
    ─────────────────────────────────────────────
    k=4:
    (a+b)4       4∙[x4]+  2∙[4x³y]+ 1∙[6x²y²]
    (a+b+c)4     4∙[x4]+  6∙[4x³y]+ 3∙[6x²y²]+  3∙[12x²yz]
    (a+b+c+d)4   4∙[x4]+ 12∙[4x³y]+ 6∙[6x²y²]+ 12∙[12x²yz]+ 1∙[24xyzv] 

Polynomické výrazy

Každý jednotlivý výraz z rozpisu (a+b+c ...)k má součet exponentů k.
Např. pro k=3 v (a+b+c)³ mají jednotlivé členy a³, 3ab², 6abc,... součet exponentů 3=1+2=1+1+1,...).

Koeficienty u jednotlivých členů (pro k<n) jsou určeny počtem permutací s opakováním symbolů, tj. vztahem:

   n!
  ──────────
  h1! ..    hn!

kde h1,...hn jsou exponenty členů.

Koeficientů je pro dané k vždy tolik, kolik existuje různých rozkladů se součtem k. Např. pro k=4 existuje 5 rozkladů: 4= 3+1= 2+2= 2+1+1= 1+1+1+1.

  k   Coefficients         Partitions 
 ──────────────────────────────────────────────────
  1:  1                    1
  2:  1 2                  2,1+1
  3:  1 3  6               3,2+1,1+1+1
  4:  1 4  6 12 24         4,3+1,2+2,2+1+1,1+1+1+1.
  5:  1 5 10 20 30 60 120  5,4+1,3+2,3+1+1,2+2+1,2+1+1+1,1+1+1+1+1 

Koeficient v (a+b+c+...)4 u x³y je 4, protože 4!/3!1! = 4.

Složení výrazů

Jsou-li exponenty u p,q,r ve členech výrazů postupně h1,h2,h3 tak platí:

pro xk+yk: h1+2h2 = k, pro xk+yk+zk: h1+2h2+3h3 = k,

Např. pro k=3 je:

   Člen      a   b   c   a+2b+3c
   ─────────────────────────────
   p³        3   0   0     3
   3pq       1   1   0     3
   3r        0   0   1     3

Obecně má výraz sestavený ze symetrických funkcí p,q,r,s,.. právě tolik členů, kolik je možných rozkladů čísla k na součet: h1+2h2+3h3+.

Např. pro k=5 existuje 5 rozkladů [a,b,c]:     [5,0,0], [3,1,0], [2,0,1], [1,2,0], [0,1,1]

Zápis x5+y5+z5 pomocí symetrických polynomů p,q,r musí proto obsahovat členy p5, p³q, p²r, pq² a qr.

Ramanujan, Srinivasa Aaiyangar
Ramanujan, Srinivasa Aaiyangar [], 1887-1920, geniální indický matematik, samouk. Věnoval se teorii čísel, zvláště číselným uspořádáním. Během svého krátkého pobytu v Anglii publikoval řadu prací, některé ve spolupráci s anglickým matematikem G.H.Hardym (na jehož pozvání přicestoval).
Rozdělení čísla na sčítance

Úlohu o rozdělení čísla do sčítanců (o rozměnění bankovky,"partiton numerorum",...) řešil již Euler.

Jestliže p(k) je počet možných rozdělení, tak platí

(viz Vytvořující funkce):    1+p(1)x+p(2)x²+... = 1/((1−x)(1−x²)(1−x³)...).

Pro hodnotu p(k) odvodili S.Ramanujan a G.H.Hardy (r.1917) asymptotický vztah:    p(k) ~ (eφ√(2k/3))/4k√3   

Nasycené G-systémy

 G(1,1):               G(3,3):
  0     a               000             a3
  1     b               100 001 010     3a2b
                        110 101 011     3ab2
 G(2,2):                111             b3
  00      a2            200 002 020     3a2c
  01 10   2ab           201 012 120     3bac
  11      b2            210 102 021     3abc
                        211 112 121     3b2c
                        220 202 022     3ac2
                        221 212 122     3bc2
                        222             c3

Při n=k dochází k nasycování koeficientů na hodnotu n!:

k\n   2      3      4
────────────────────────
 2   2xy
 3   3x²y   6xyz
 4   4x³y  12x²yz  24xyzv 

Systémy s n=k nazveme nasycené.

Znázornění koeficientů

Koeficienty mocnin polynomů uspořádáme do tvaru n-bokého jehlanu s k vrstvami. V každé j-té vrstvě 'reaguje' právě j symbolů.

Pohled shora:

              c³
              c²
       3ac²        3bc²
          2ac  c  2bc
            a       b
    3a²c      2ab      3b²c             
         a²        b²  
  a³      3a²b   3ab²     b³
Vrstva 1(2):
      c
  (2ac) (2bc)
   a (2ab) b
Vrstva 2(3):
       c²
  2ac (6abc) 2bc
    a² 2ab b²
Vrstva 3(4)
          c³
        3ac² 3bc²
        (12abc²)
          6abc
3a²c (12a²bc)(12ab²c) 3b²c
       a³ 3a²b 3ab² b³

Prosté polynomy

Např. pro n=2, k=2 je (z celkového počtu 2² = 4 polynomů) prostý jen polynom x²+x+1.

Systém G(2,2):

Koeficienty   Polynom F(x)(mod 2)     F(0)  F(1)
──────────────────────────────────────────────────
  00           x²                       0     1
  01           x²     +1                1     0
  10           x²  +x                   0     0
  11           x²  +x +1                1     1   *    1/2(n²−n) = 1/2(2²−2) = 1           

Přitom x²≡x∙x, x²+x≡x(x+1) a x²+1≡(x+1)(x+1) (mod 2).

Přiřazení hodnot koeficientům

V případě kubických polynomů (k=3) podle modulu 3 (n=3) přiřadíme koeficientům (vlevo) hodnoty (vpravo):

System G(3,3):

   Polynom                  Koeficienty       Hodnoty    
   ───────────────────────────────────────────────────────────
   x³                       000               012
   x³ +1 x³ +x  x³+ x²      001  010  100     120  021  020
   x³ +...                  002  020  200     201  000  001
   x³ +...                  011  110  101     102  002  101
   x³ +...                  012  120  201*    210  011  112*  
   x³ +...                  021* 210  102*    111* 010  212*
   x³ +...                  022* 220  202     222* 022  220
   x³ +...                  111               110
   x³ +...                  112* 121* 211*    221* 122* 121*
   x³+ x²+2x+2 ...          122  221  212     200  100  202
   ───────────────────────────────────────────────────────────
   x³+2x²+2x+2              222*              211* 
Nasycené G-systémy

Systémy ve kterých n=k nazýváme nasycené (viz G-systémy). Vezmeme-li koeficienty polynomů z G(n,n), jsou funkční hodnoty pro x=0,1,..(n−1) také z G(n,n). Hodnoty prostých polynomů najdeme v dolní části G-systému hodnot:   Hodnoty polynomů z G(3,3):  

    000 
    001  010  100 
    ....     
    022  220  202
Prosté polynomy tvoří G(2,3)
    111*                 000
    112* 121* 211*   =>  001 010 100     
    122* 221* 212*       011 110 101
    222*                 111 
Pokrývání jiných systémů

Podle funkčních hodnot F(0), F(1), F(2) můžeme polynom vycházející z koeficientů G(3,2) rozdělit do tří druhů:

    Polynom                       Hodnoty
    ────────────────────────────────────────────────
    x²     x²+x+1   x²+2x+1       011 101 110
    x²+1   x²+x+2   x²+2x+2       122 212 221  *
    x²+2   x²+x     x²+2x         200 020 002 

Hodnoty vytvářejí nové instance tvořené n-buňkami z n-prvků. Prosté polynomy jsou v řádku označeném hvězdičkou.

Všechny instance patří systému G(n,n) a pokrývají některé jeho druhy.
Např. prosté polynomy z G(3,2) tvoří 1 druh, tj. 3 instance {122,212,221} z G(3,3). V G(5,2) najdeme 10 prostých polynomů; jejich hodnoty pokrývají 2 druhy z G(5,5):

    Polynom         
    ──────────────────────────────────────────
    x²+2  x²+x+1  x²+2x+3  x²+3x+3  x²+4x+1   *
    x²+3  x²+x+2  x²+2x+4  x²+3x+4  x²+4x+2   *
    Hodnoty 
    ──────────────────────────────────────
    23113  13231  31132  32311  11323    *
    34224  24342  42243  43422  22434    * 

Od jednotlivých hodnot prostých polynomů bychom mohli také odečíst jedničku a hledat odpovídající druhy v G(n−1,n).
Hodnoty prostých polynomů z G(5,2) tak můžeme zařadit do G(4,5):

    12002  02120  20021  21200  00212    *
    23112  13231  31132  32311  11323    *
    ...?!?...