Velká Fermatova věta

Úvod

Následující odstavce obsahují krátký pohled na Velkou Fermatovu větu z pohledu G-systémů.

Instance v segmentech

Nechť c(s) je počet instancí v segmentu s. V případě ap +bp =cp (tj. Velká Fermatova věta) by mělo platit:

         c-1
 (1)     ∑(c(s)) = ap
         s=b

Např. v G(p) jsou hodnoty c(s):

p=2: 1, 3, 5, 7, 9, 11 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 ..
p=3: 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, ...
p=5: 1, 31, 211, 781, 2101, 4651, ...
p=7: 1, 127, 2059, 14197, ...

Jen v případě p=2 jsou známy takové součty: :
7+ 9 = 42; 17+19 = 62; 11+13+15+17+19+21+23+25 = 122.

Příklad pro p=3

V případě p=3, t.j. G(3) jsou hodnoty c(s):

  |   0   1   2   3   4  ...  i
--+----------------------------
0 |   0
1 |   1,  7, 19, 37, 61, 91
2 |   8, 26, 56, 98,152,
3 |  27, 63,117,189,
4 |  64,124,208,
5 | 125,
6 |
j

V tabulce platí:

 (2a)   R[i,j]=R[i,1]+R[i+1,j-1], tj. R[3,3]=R[3,1]+R[4,2]=19+98=117 

Jinak zapsáno:

 (2b)   R[i,j]=R[i-1,j+1]-R[i-1,1],  E.g. R[4,2]=R[3,3]-R[3,1]=117-19=98 

Rovnice (1) musí platit také pro každý modul m:

Example of congruences
c(s)
        mod2 mod3 mod4 mod5 mod6 mod7 mod8 mod9 mod10 mod11 mod12
-----------------------------------------------------------------
   1    1    1    1    1    1    1    1    1    1     1     1
   7    1    1   -1    2    1    0   -1   -2   -3    -4    -5
  19    1    1   -1   -1    1   -2    3    1   -1    -3    -5
  37    1    1    1    2    1    2   -3    1   -3     4     1
  61    1    1    1    1    1   -2   -3   -2    1    -5     1
  91    1    1   -1    1    1    0    3    1    1     3    -5
 127    1    1   -1    2    1    1   -1    1   -3    -5    -5
 169    1    1    1   -1    1    1    1   -2   -1     4     1
 217    1    1    1    2    1    0    1    1   -3    -3     1
 271    1    1   -1    1    1   -2   -1    1    1    -4    -5
 331    1    1   -1    1    1    2    3   -2    1     1    -5
 397    1    1    1    2    1   -2   -3    1   -3     1     1
 469    1    1    1   -1    1    0   -3    1   -1    -4     1
 547    1    1   -1    2    1    1    3   -2   -3    -3    -5
ap
       mod2 mod3 mod4 mod5 mod6 mod7 mod8 mod9 mod10 mod11 mod12
-----------------------------------------------------------------
   1    1    1    1    1    1    1    1    1    1     1     1
   8    0   -1    0   -2    2    1    0   -1   -2    -3    -4
  27    1    0   -1    2    3   -1    3    0   -3     5     3
  64    0    1    0   -1   -2    1    0    1    4    -2     4
 125    1   -1    1    0   -1   -1   -3   -1    5     4     5
 216    0    0    0    1    0   -1    0    0   -4    -4     0
 343    1    1   -1   -2    1    0   -1    1    3     2    -5
 512    0   -1    0    2    2    1    0   -1    2    -5    -4
 729    1    0    1   -1    3    1    1    0   -1     3    -3
1000    0    1    0    0   -2   -1    0    1    0    -1     4
1331    1   -1   -1    1   -1    1    3   -1    1     0    -1
1728    0    0    0   -2    0   -1    0    0   -2     1     0
2197    1    1    1    2    1   -1   -3    1   -3    -3     1
2744    0   -1    0   -1    0    0    0   -1    4     5    -4

Tedy součet čísel v bloku vybraných sousedních řádek první tabulky by měl být roven číslům jednoho řádku tabulky druhé (pro každý sloupec).

Některé drobné závislosti

Z výrazu (b+p)p-bp = 0 (mod p) a ze struktury rozdílových posloupností vlastních druhů plyne:

s[(b+p)p-(b+p)]/p - (bp-b)/p = -1 (mod p )

(b+p)p - bp = 0 ( mod p2 )

E.g. (2+3)3 - 23 = 117 = 0 mod 32; or (2+5)5 - 25 = 16775 = 0 mod 52.

For each p ε P the numbers c(s) satisfy the equation:

a(0) + a(p) = constant ( mod p )

E.g. p=3: 1 + 37 = 7 + 61 = 19 + 91 = 37 + 127 = 2 mod 3.

Hledání vhodných modulů

Velká Fermatova věta (VF-věta) je tvrzení, že rovnice ak+bk=ck (VF-rovnice) nemá pro kεN, k>2 žádné řešení v přirozených číslech a,b,c εN. K tomu aby věta platila pro všechna k>2 stačí dokázat, že platí pro k=4 a kεP. Když neexistuje řešení ap+bp=cp nemůže existovat ani řešení (aq)p+(bq)p=(cq)p tj. apq+bpq=cpq.

Důkaz je dostatečný také s omezením jen na čísla a,b,c po dvou nesoudělná, tj.(a,b)=1,(a,c)=1,(b,c)=1.

Segmenty G-systémů

Označme A=ap, B=bp, C=cp pro a<b<c; pεP.

                                           G(c,p)
                                       ┌───────────┐
                                       │           │
                             N(C) ──>  │           │
                                       │           │
                     G(b,p)            │           │
                     ┌───────────┐ ─ ─ ┼ ─      ─ ─│
                     │           │     │           │
            N(B) ──> │           │     │    C      │
   G(a,p)            │           │     │           │
   ┌───────────┐ ─ ─ ┼─ ─  B  ─ ─│  −> ┼ ─      ─ ─│
   │           │     │           │     │           │
   │     A     │  −> │           │     │           │
   │           │     │           │     │           │
   └───────────┘ ─ ─ └───────────┘ ─ ─ └───────────┘

Systém G(c,p) přebírá segmenty systému G(b,p) a ten obdobně segmenty G(a,p). Nechť B = A + N(B), C = B + N(C) = A + N(B) + N(C). Podle VF-věta pro p>2 neexistují takové A,B,C že A+B=C, tj. N(C) = A.

Pythagorejské trojúhelníky

Pýthagorás ze Samu
Pýthagorás ze Samu , ?−509 před.n.l., antický řecký matematik, zakladatel filozofické školy. Objevil celočíselné vztahy v poměrech charakteristik libozvučně znějících tónů. Podle jeho učení vládne obdobná harmonie pohybům nebeských těles, mikrosvětu i lidské duši samé.

Pro p=2 takové G-systémy existují, např. G(3,2), G(4,2) a G(5,2) protože 3² + 4² = 5²:

                                       G(5,2)
                                    ┌───────┐
                                    │ 0     │
                                    │ 1   5 │
                                    │ 2  10 │
                                    │ 3  15 │
                    G(4,2)          │ 4  20 │
                                    └───────┘
                      0               6
                      1   4           7  11
                      2   8           8  16
    G(3,2)            3  12           9  21
     ┌───────┐
     │ 0     │        5              12
     │ 1 3   │        6   9          13  17
     │ 2 6   │        7  13          14  22
     │ 4     │       10              18
     │ 5 7   │       11 14           19  23
     │ 8     │       15              24
     └───────┘

Oblast N(C) zahrnuje v(c)−v(b) = (cp−bp)−(c−b) vlastních a (c−b) vnořených instancí, tj. celkem m(c)−m(b) = (cp−bp) instancí členěných do (c−b) skupin. Řád všech systémů je stejný, druhy mají vždy nejvýše p transpozic. Délka skupin se se stupněm zvětšuje, tedy musí být (c−b) < a , tj. a + b > c.

Fermatova kongruence

Je-li splněna rovnice ak+bk=ck, musí platit také všechny odpovídající kongruence pro libovolný modul rεN: ak+bk≡ck (mod r). Vztah Za+Zb≡Zc (mod r), kde Zx=xk mod r budeme nazývat Fermatova kongruence (VF-kongruence). Řešení VF-kongruence budeme zapisovat zkráceně ve tvaru [Za,Zb,Zc].

Platnost kongruence vypovídá o platnosti výchozí rovnice. Např.funkce a³−2x nedává nikdy podle modulu 5 zbytek 1 nebo 4:

   x             │  0   1    2    3    4
  ───────────────┼─────────────────────────
   x3+2x         │  0   3   12   33   72
   x3+2x (mod 5) │  0   3    2    3    2

Proto rovnice x³+2x=a, kde a=1 nebo a=4 nemůže mít řešení pro žádné xεZ.

Stejný postup je vhodný i u funkcí více proměnných. Např. kongruence x²+y²+z²≡7 mod 8 nemá žádné řešení. Kvadratickými zbytky podle modulu 8 jsou čísla 0,1 a 4 a žádná kombinace těchto tří čísel nemůže být v součtu ≡ 7 (mod 8).

Rozdílové posloupnosti

První rozdílová posloupnost druhých mocnin udává počet instancí v jednotlivých segmentech.

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100
  1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ...

Existence pythagorejských trojúhelníků znamená, že v rozdílové posloupnosti lichých čísel existují takové podmnožiny čísel, jejichž součet je druhou mocninou.

Např.: 7+ 9 = 4² 17+19 = 6² 11+13+15+17+19+21+23+25 = 12².Platnost VF-věty znamená, že pro k>2 takové podmnožiny neexistují.

Nikomachos z Gerasy
Nikomachos z Gerasy , kolem r.100, alexandrijský matematik římského období, v jeho díle je nejucelenější dochovaný výklad pythagorejské aritmetiky. Pojednává o polygonálních a pyramidálních číslech.

Pro k=3 tvoří rozdílová posloupnost {1,7,19,37,...} tzv. šestiúhelníková čísla (např. 7 reprezentuje 6 bodů rozmístěných pravidelně okolo jednoho bodu uprostřed, 19 pak přidává okolo dalších 12 bodů...)

  0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000
    1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169,  217, 271, ...

Řazením nad sebe se pak tvoří tzv. pyramidální čísla. Počet bodů v těchto pyramidách je postupně 1,1+7=8,1+7+19=27,..., tedy n³.

Když existují v rozdílové posloupnosti k-tých mocnin takové podmnožiny čísel, jejichž součet je k-tou mocninou, musí platit příslušné kongruence také pro čísla těchto podmnožin. Např. protože 7+ 9 = 4² musí být také 7 mod r + 9 mod r = 16 mod r pro libovolný modul r.

Rozdílové posloupnosti k-tých mocnin mají určité vlastnosti. Např. z periodicity posloupnosti plyne pro p ε P: a(i)+a(i+p)= −1 (mod p), tj. v případě p=3 platí: 1 + 37 = 7 + 61 = 19 + 91 = 37 + 127 = 2 mod 3 (viz segmenty).
Nabízí se proto otázka, zda některé vlastnosti pro k>2 platnost některých kongruencí nevylučují.

Omezující modul

Moduly r se pokusíme rozlišit podle toho, do jaké míry omezují možná řešení. Pokud čísla nk mod r (pro dané k a všechny možné hodnoty n) nezaplňují celou množinu čísel 0,1,...r−1, nazýváme modul r omezujícím (pro řád k).

Např. n³ mod 9 dává jen tři možné zbytky 0,1 a 8, n³ mod 10 všechny možné zbytky 0,1,2,3,...9. Tedy pro řád 3 je modul 9 omezující, modul 10 nikoliv.

Zajímat nás budou výhradně jen omezující moduly, např. pro k=2 a 3, r=1,2,..16:

 r h z
 ──────── k=2
  1 1 0
  2 2 1, 0
  3 2 1, 1, 0
  4 2 1, 0, 1, 0
  5 3 1, 4, 4, 1, 0
  6 4 1, 4, 3, 4, 1, 0
  7 4 1, 4, 2, 2, 4, 1, 0
  8 3 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1, 0
  9 4 1, 4, 0, 7, 7, 0, 4, 1, 0
 10 6 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0
 11 6 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1, 0
 12 4 1, 4, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 4, 1, 0
 13 7 1, 4, 9, 3,12,10,10,12, 3, 9, 4, 1, 0
 14 8 1, 4, 9, 2,11, 8, 7, 8,11, 2, 9, 4, 1, 0
 15 6 1, 4, 9, 1,10, 6, 4, 4, 6,10, 1, 9, 4, 1, 0
 16 4 1, 4, 9, 0, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 0, 9, 4, 1, 0
  r h z
 ──────── k=3
  1 1 0
  2 2 1, 0
  3 3 1, 2, 0
  4 3 1, 0, 3, 0
  5 5 1, 3, 2, 4, 0
  6 6 1, 2, 3, 4, 5, 0
  7 3 1, 1, 6, 1, 6, 6, 0
  8 5 1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, 0
  9 3 1, 8, 0, 1, 8, 0, 1, 8, 0
 10 10 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9, 0
 11 11 1, 8, 5, 9, 4, 7, 2, 6, 3,10, 0
 12 9 1, 8, 3, 4, 5, 0, 7, 8, 9, 4,11, 0
 13 5 1, 8, 1,12, 8, 8, 5, 5, 1,12, 5,12, 0
 14 6 1, 8,13, 8,13, 6, 7, 8, 1, 6, 1, 6,13, 0
 15 15 1, 8,12, 4, 5, 6,13, 2, 9,10,11, 3, 7,14, 0
 16 10 1, 8,11, 0,13, 8, 7, 0, 9, 8, 3, 0, 5, 8,15, 0

Číslo h udává počet různých zbytků nk mod r. Čím je číslo h menší, tím je modul účinnější . Nejúčinnější moduly dávají dva zbytky (0,1) nebo tři zbytky (0,1 a p−1).

Triviální řešení

Pokud pro daný modul r má VF-kongruence řešení jen tehdy, když některým z čísel Za,Zb,Zc je nula, budeme mluvit o triviálním řešení:

[0,z,z] ──> ak≡0 (mod m), resp. bk≡ck (mod m)
[z,0,z] ──> bk≡0 (mod m), resp. ak≡ck (mod m)

[z,z,0] ──> ck≡0 (mod m), resp. ak≡bk (mod m)

(Řešení [0,0,0] je vyloučeno počáteční podmínkou, že čísla a,b,c jsou po dvou nesoudělná).
Např. výraz n² mod 16 nabývá 4 hodnot: 0,1,4,9 a existují jen řešení:

0+1 ≡1, 0+4 ≡4 a 0+9 ≡9 (mod 16)
resp. 1+0 ≡1, 4+0 ≡4 a 9+0 ≡9 (mod 16)

Výraz n³ mod 9 dává 3 hodnoty: 0,1,8 a existují jen řešení:

0+1≡1, 0+8 ≡8 a 1+8 ≡0 (mod 9)
resp. 1+0≡1, 8+0 ≡8 a 8+1 ≡0 (mod 9)

V případě triviálních řešení platí buď m|ak nebo m|bk nebo m|ck, tj. m|(abc)ak. Když mεP, pak m|abc.

Moduly Sophie Germain

Dokazování platnosti Fermatovy věty by bylo snazší, kdyby pro každý řád k existovaly účinné moduly, jejichž kombinací by se možnost řešení omezila, nebo vyloučila.
Tak tomu ale není, moduly, které dávají nejvýše tři zbytky se vzrůstajícím k mizí. Pro k=2,3,..13 jsou to jen tyto:

Germain, Sophie
Germain, Sophie [], 1776-1831, francouzská matematička. Zabývala se řešením velké Fermatovy věty. Na základě její rozsáhlé práce se podařilo větu dokázat pro všechna k<100 a později i pro řadu dalších exponentů. Věnovala se také matematické fyzice (teorii elasticity). V korespondenci s jinými matematiky vystupovala pod mužským pseudonymem (Louis Le Blanc).
  Moduly r
  ─────────────────
  k=  2: 2,3,4,5
  k=  3: 3,4,7,9
  k=  5: 11
  k = 6: 7,8,9,13
  k= 11: 23

Ve vybraných dvojicích (k,r): (2,5), (3,7), (5,11), (6,13), (11,23),... je k = κ(r) a rε P.

Tohoto vztahu využila k důkazu Fermatovy věty pro vybrané exponenty k Sophie Germain. Ukázala např. že jestliže a5+b5=c5 pak jedno z čísel a,b,c musí být dělitelné číslem 5.

Sophie Germain se dále zabývala hledáním takových pomocných modulů, která vyloučí možná řešení (to se jí podařilo pro každé k<100). Vyřešila případy, kdy k i 2k+1 nebo obecněji 2mk+1 je prvočíslo.
To znamená případy kdy k=κ(p)=κ(p,2), resp. k=κ(p,2m), pro k,pεP.
Z jejích vztahů plyne např. že jestliže a7+b7=c7 pak jedno z čísel a,b,c musí být dělitelné číslem 29 (tj.4∙7+1),...

Důsledek binomické věty

Z binomické věty (viz ) plyne:

M(n,k) ≡ k (mod n−1)

Např. M(5,3)= 31 ≡ 3 (mod 4), M(5,7)= 19531 ≡ 7 (mod 4).
Obecně totiž je (ak−bk)/(a−b) ≡ k∙ak−1 ≡ k∙bk−1 mod (a−b). Např. (7³−2³)/(7−2) ≡ 3∙7² ≡ 3∙2² (mod 5), tj. 67 ≡ 147 ≡ 12 (mod 5).

Eulerovo kriterium

Eulerovo kriterium k rozlišení kvadratických zbytků a nezbytků využívá vztahu Q(u,r) = uκ(r) mod r, který nabývá jen tří hodnot {−1,0,1} (přitom hodnoty 0, jedině když r|n).

Když r nedělí ani jedno z čísel a,y,z tak kongruenci:

aκ(r)+bκ(r) ≡ cκ(r) (mod r)

můžeme přepsat na tvar, který nemá řešení:

±1 + ±1 ≡ ±1 (mod r)

Dělitelé čísel a,b,c

Triviální řešení nastávají v případě následujících modulů r:

k    Moduly r
────────────────────────────────────────────────
2    3,4,5,8,9,16,25
3    3,4,7,9,13,27,49,169,343,2187
4    9,13,17,25,27,81,125,169,289,625,1681,2197
5    4,8,11,16,32


     k=2: 3*4*5 | abc
 k=3: 2*3*7*13 | abc
 k=4: 3*5*13*17 | abc
 k=5: 2*5 | abc

Pro k=2 m z modulů m=9, 16 a 25 plyne, že musí platit 3∙4∙5|abc. Tuto vlastnost Pythagorejské trojúhelníky mají, např.:{3,4,5},{5,12,13},{7,24,25},{8,15,17},..

Pro další exponenty k>2 plynou z hodnot zbytků obdobné vztahy.


Mocninné součty

Trojúhelníková čísla

V počtech druhů (vlastních, vnořených i celkem) se objevuje posloupnost Pythagorejských trojúhelníkových čísel Tn {0,1,3,6,10,15,21,28,36,...}. Číslo T5 = 15 je představováno 15-ti body trojúhelníka o hraně délky 5:

*
* *
* *
*  Tn =f_binom_np1_2   = n(n+1)/2
* * * *
* * * * *

Platí:

Tn+Tn−1 = n²

n−T²n−1 = n³

např. T7+T6 = 28+21= 7² = 49 a T²7−T²6 = 7³ = 28²−21²= 7² = 343.

Bernoulli, Jacob
Bernoulli, Jacob [bernuli], 1654-1705, švýcarský matematik a fyzik známý svými pracemi z diferenciálního počtu a pravděpodobnosti. Používal polární souřadnice, zavedl pojem 'integrál'. Spolu s mladším bratrem Johannem (1667-1748), nastudovali Leibnitzův diferenciální počet a aplikovali jej na celou řadu fyzikálních problémů. Z jejich dílny pochází např. i tzv. L'Hospitalovo pravidlo. Přispěli k rozvoji variačního počtu. Johannův syn Daniel (1700-1782) je známý pracemi z hydrodynamiky (Bernoulliova rovnice).
Newtonovy součty

Newtonovy součty

Součty mocnin ∑sk (pro různá k) se nazývají Newtonovy součty. Po Newtonovi se jimi zabýval podrobněji Jacob Bernoulli.

Počítejme postupně kolik je na šachovnicích n x n čtverců a kolik obecně pravoúhelníků.

Např. pro n=2 nacházíme 1 větší čtverec, 4 čtverce menší a 4 obdélníky.

  n  čtverců pravoúhelníků
 ───────────────────────
  1     1       1
  2     5       9
  3    14      36
    ┼───┼───┼───┼
    │   │   │   │
    ┼───┼───┼───┼
    │   │   │   │
    ┼───┼───┼───┼
    │   │   │   │
    ┼───┼───┼───┼

Počty čtverců se zdají být součtem řady 1² + 2² + 3² ... Počty pravoúhelníků jsou součtem 1³ + 2³ + 3³ ... a zároveň tvoří druhé mocniny 1², 3², 6²,.. tj. (1)², (1+2)², (1+2+3)²,...

Pro každé n εN, s=1,..,n platí:

∑s³ = (∑s)²

Mocninné posloupnosti

Zajímá nás jaké jsou vytvořující funkce pro posloupnosti {0k,1k,2k,3k,.....} pro dané číslo k. K posloupnosti {1,2,3,4,5...} přísluší vytvořující funkce f(x)=1/(1−x)². Mohli jsme ale také začít od čísla 0, tedy hledat funkci pro posloupnost {0,1,2,3,4,5...}.
Ta se získá z původní posloupnosti násobením x∙f(x) = x/(1−x)².
Násobením x získáváme tedy posloupnost, která je záměnná s původní posloupností (viz záměnné posloupnosti).

Vytvořující funkce fk (pro jednotlivá k):

Funkce                    Posloupnost 
───────────────────────────────────────────────────────
f0=x/(1−x)     0, 1, 1,  1,   1,  1,   1,…
f1=x/(1−x)2      0, 1, 2,  3,  4,  5,   6,…
f2=x(1+x)/(1−x)³       0, 1, 4,  9, 16, 25,  36,…
f3=x(1+4x+x²)/(1−x)4   0, 1, 8, 27, 64,125, 216,…
f4=x(1+11x+11x²+x³)/(1−x)5    0, 1,16,  81,256,625,1296,…
f5=x(1+26x+66x²+26x³+x4)/(1−x)6 0, 1,32,243,512,…

Další funkce je vždy derivací funkce předchozí, násobená x:

f[n](x) = x∙ (f[n−1](x))'

Tedy f1 = x∙f0', f1 = x∙f1'= x²∙f0'', ...

Např.
f1' =(x/(1−x)²)' = 1/(1−x)²−x(−2)/(1−x)³ = 1/(1−x)²+2x/(1−x)³
f1' =(1−x+2x)/(1−x)³ = (x+1)/(1−x)³
f2  = x∙f1' = x(x+1)/(1−x)³

Eulerův trojúhelník

Koeficienty polynomů vytvořujících funkcí pro mocninné posloupnosti tvoří tzv. Eulerův trojúhelník:

 1
 1 1
 1 4 1 
 1 11 11 1
 1 26 66 26 1
 1 57 302 302 57 1