Řady

V následujících odstavcích jsou některé poznámky týkající se posloupností a řad...

Exponenciální (Eulerovy) řady

Zajímavou skupinu tvoří řady defiované vztahem:

E({ak}) = ∑ ak * xk/k!

Periodu posloupnosti {ak} označme m.

Základní posloupnosti

m = 1

Pro nulovou posloupnost {ak} platí E{0} = 0. A pro E{1} nebo E{-1} užijeme Eulerův vztah: E(x) = e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! ...

    E(-1) = -e       E{1}  = e 

m = 2

Ze vztahů:

    E{0,1} = (e - 1/e)/2 = 1.175201194      E{1, 0} =  (e + 1/e)/2 = 1.543080635

dostaneme:

  E(p,q) = p*(e + 1/e)/2 + q*(e - 1/e)/2 = 1/2*[(p+q)*e + (p-q)/e]  

m = 3

    E{1,0,0} = 1.168058313
    E{0,1,0} = 1.041865365
    E{0,0,1} = 0.508358157(=1.016716314 / 2)

m = 4

    E{1,0,0,0} = 1.04169147 (=a)
    E{0,1,0,0} = 1.00833609 (=b)
    E{0,0,1,0} = 0.50138916 (=1.00277832 / 2 =c)
    E{0,0,0,1} = 0.16686511 (=1.00119066 / 4 =d)

A známé řady pro sinus a kosinus:

    E{0,1,0,-1} = sin 1 [rad] = (ei-1/ei)/2i = 0.841470985 (=b-d)
    E{1,0,-1,0} = cos 1 [rad] = (ei+1/ei)/2 = 0.540302306 (=a-c)

Přitom (zděděním z m = 2) máme:

    E{0,1,0,1} = E{0, 1} = (e - 1/e)/2 = 1.175201194 (=b+d) = sinh 1 (hyperbolický sinus)    
    E{1,0,1,0} = E{1, 0} = (e + 1/e)/2 = 1.543080635 (=a+c) = cosh 1 (hyperbolický kosinus)

Ze součtu výrazů E{1,0,-1,0} + E{1,0,1,0} = 2*E{1,0,0,0} (=2*a) dostaneme (ei+1/ei)/2 + (e + 1/e)/2.
A obdobně z E{0,1,0,-1} + E{0,1,0,1} = 2*E{0,1,0,0} (=2*b) dostaneme (ei/i-1/ei/i)/2 + (e - 1/e)/2 tj:

  E(1,0,0,0) = (e1+ ei+ e-1+ e-i)/4       E(0,1,0,0) = (e1+ ei/i- e-1- e-i/i)/4  

Dále E{1,0,1,0} - E{1,0,-1,0} = 2*E{0,0,1,0} (=2*c) a E{0,1,0,1} - E{0,1,0,-1} = 2*E{0,0,0,1} (=2*d) tj:

  E(0,0,1,0) = (e1- ei+ e-1- e-i)/4       E(0,0,0,1) = (e1- ei- e-1+ e-i)/4  


Poznámky:

Stirlingův trojúhelník

Výsledkem součtů pro jednoduché mocninné posloupnosti jsou výrazy, jejichž koeficienty jsou Stirlingova čísla druhého druhu:

    E(n) = z*ez 
    E(n2) = (z2+z)*ez 
    E(n3) = (z3+3*z2+z)*ez 
    E(n4) = (z4+6*z3+7*z2+z)*ez 
    E(n5) = (z5+10*z4+25*z3+15*z2+z)*ez 

Bernoulliho čísla

Známý je také výsledek součtu, kde zadanou posloupností je řada Bernouliových čísel:

E(Bn) = z / ez-1