Rozšiřování oborů

Číselné obory

 Číselné obory – nekonečné, jednosložkové:
  N - přirozená čísla (tj. kladná celá čísla bez nuly)
  N0 - kladná celá čísla včetně nuly
  P - prvočísla
  Z - celá čísla
  Q - racionální čísla p/q, pεZ, qεN
  R – reálná čísla

Základní číselné obory

Množina čísel určitých vlastností se nazývá číselný obor. Prapůvodní řada přirozených čísel N={1,2,3,4,5,....} byla nejprve doplněna o nulu na N₀={0,1,2,3,4,5,....} (nulu začali mezi prvními používat Číňané, Indové a také Mayové,…). Připojením záporných hodnot vznikla řada celých čísel Z={..,-3,-2,-1,0,1,2,...}.  Celá čísla doplněná o vzájemné poměry (zlomky) tvoří racionální čísla  Q=p/q kde pεZ, qεN. Přirozená čísla, která nemají jiného dělitele než číslo 1 a seme sama se nazývají prvočísla P.

Odmocniny z čísel není obecně možné vyjádřit ve tvaru poměrů: kromě čísel racionálních existují iracionální čísla (např. √2,√3,π,...). Celý komplex všech (jednosložkových) čísel (racionální+iracionální) dostal pojmenování reálná čísla (R).

Zápis čísel

Základy dnešní matematické symboliky položili arabský matematik al-Chvárizmí a italský matematik Fibonacci. V desítkové soustavě (tj. soustavě se základem 10) se zápisem 243 rozumí (2,4,3)₁₀ = 2∙10²+4∙10+3. V soustavě se základem 5 by zápis 243 znamenal (2,4,3)₅ = 2∙5²+4∙5+3 = 73, tj.(7,3)₁₀. Obecně číslo (2,4,3)_n můžeme zapsat jako 2n²+4n+3, kde n je základ soustavy (nεN). Exponenty t u členů n^t udávají řády jednotlivých symbolů. V čísle 243 má symbol 2 řád 2 (stovky), symbol 4 řád 1 (desítky) a symbol 3 řád 0 (jednotky).

Na dalším doplňování, zjednodušování a upřesňování symboliky se podílela celá řada matematiků - velikáni (F.Viéte, R.Descartes, G.W.Leibnitz, L.Euler,...) i méně známí učenci (R.Recorde, cca 1510-1558, zavedl znaménko '=', T.Harriot, 1560-1621, znaménka '>'a '<',...).
Obor přirozených čísel se rozšiřuje na celá čísla (pomocí znaménka před zápisem čísla), racionální čísla (povolením záporných řádů) a reálná čísla (povolením nekonečného počtu záporných řádů).

Např. číslo −243,67 = − (2∙10²+4∙10+3+6∙10^-1+7∙10^-2).

Algebraické struktury

Algebraické struktury:
  G - struktury s jednou operací (grupy,grupoidy,..)
  T - struktury se dvěma operacemi (tělesa, okruhy,..)

V moderní algebře se namísto oborů používají  množiny prvků s přípustnými operacemi. Vztahům definovaným na množinách se říká relace. Pokud má relace funkci přiřazování, nazývá se zobrazení. Operace je zvláštním typem zobrazení - zadaným číslům přiřazuje podle určitého předpisu výsledek.

Algebraické struktury s jednou operací se odvozují od elementární struktury, které se říká grupoid [Borůvka]. Každý výsledek (v) dané operace s libovolnými prvky grupoidu musí být určen jednoznačně a patřit grupoidu (vεG). Pro struktury, splňující další podmínky, se používá zvláštních (někdy až bizardních) pojmenování (pologrupa, kvazigrupa, lupa, monoid,…). Podmínkami se rozumí např. existence neutrálního prvku, asociativní operace, operací krácení a dělení apod.

Struktury s operací sčítání se nazývají aditivní, s operací násobení multiplikativní .

Základní algebraickou strukturou se dvěma operacemi  je okruh. Okruh O(+,∙) je tvořen dvěma prostupujícími se grupoidy (aditivním a multiplikativním).

Okruhy, které splňují další podmínky se nazývají obor integrity a těleso. Číslům, jejichž součin je 0 se říká dělitelé nuly. Existence dělitelů nuly vylučuje, aby okruh mohl být oborem integrity (a tím i tělesem).
Číselné obory R, Q i C s operací sčítání a násobení jsou tělesa.

Operace

  Asociativní operace - operace, která nezávisí na ozávorkování prvků,
         tj. (ab)c=a(bc), resp. a(b(cd)) =a((bc)d) =(ab)(cd) =(a(bc))d =((ab)c)d, apod.
  
  Komutativní operace - operace, která nezávisí na pořadí prvků,
         tj. ab=ba, pro každé dva prvky a,b.
  Alternativní operace - zvláštní typ operace,
         platí: (aa)b = a(ab), resp. (ba)a = b(aa).

Různé operace se v různých algebraických strukturách (číselných oborech,...) mohou různě chovat. Pojmenovány byly např. následující vlastnosti operací:

Obvyklé operace - sčítání, odčítání, násobení, dělení, rozšiřování, krácení - jsou v běžně používaných oborech (Z,R,..) asociativní i komutativní.
Obecně ale operace takové být nemusí, v určitých strukturách dokonce některé operace (krácení, dělení,..) ztrácejí význam. Není-li operace komutativní, rozlišuje se operace zleva a operace zprava.

Funkce

Zobrazení je funkcí (f) tehdy, když k daným číslům (argumentům funkce) existuje právě jeden výsledek.

 • Nulový prvek 0 – chová se jako číslo 0 při sčítání
 • Jednotkový prvek – chová se jako číslo 1 při násobení. Značí se obvykle 1,e nebo I,...
 • Anihilující prvek má obdobnou vlastnost jako 0 při násobení (0*x=0).
 • Idempotentní prvek je svým vlastním součinem (jako jednička při násobení) nebo součtem (jako nula při sčítání).
 • Opačný prvek (kontrastní prvek) k prvku x je takový prvek x', pro který je x+x' = 0
 • Inverzní prvek k prvku x je takový prvek x', pro který je x*x' = 1.

Speciální prvky

Operací v algebraické struktuře nemusí být obecně  sčítání ani násobení. Proto bývají zaváděny obecnější pojmy:

Neutrální prvkem se rozumí zobecnění nulového a jednotkového prvku.

(Jinak se take často, i když je to někdy matoucí, používá pojmů odvozených z operace násobení).

Rozšiřování oborů

Nadobory

Při řešení algebraických rovnic a∙x^k+ b∙x^k-1+ c∙x^k-2+ ...+p∙x +q = 0 se ukazuje, že jsou-li koeficienty a,b,c,.. z nějakého číselného oboru T, není vždy možné najít x z tohoto oboru. Rovnici lze v takových případech vyhovět jedině hodnotami, které patří jinému oboru U, který v sobě obsahuje T (U je nadmnožinou T).

Např. rovnici 10x-3 = 0 nelze vyhovět v oboru celých čísel T=Z, ale v oboru racionálních čísel Q Z řešení má. Přitom k řešení nejsou nutná všechna racionální čísla. Stačí obor Z doplnit o číslo 0.1 (tj. o řešení rovnice 10x-1=0) a jeho kombinace (součiny) se všemi celými čísly. Takový nadobor T=Z se značí T(0.1) a mluví se doplnění (adjunkci) prvku 0.1 do oboru T.

Jaký matematický obor pokryje všechna možná řešení?

Komplexní čísla

Intuitivní odhad, že největším nadoborem musí být reálná čísla nevychází.

Např. rovnice x²+1 = 0 nemá v oboru R řešení a určuje nový prvek x = √(-1) = i. Jeho doplněním do oboru R, můžeme všechna čísla zapsat ve tvaru

 a₀ + a₁x = a₀ + a₁i 

Tak vzniká obor  C=R(√−1)=R(i).

Čísla tvaru a+bi se nazývají komplexní čísla, čísla tvaru a+b√d (kde a,b,d εR) kvadratická čísla.

Komplexní čísla byla zavedena v teorii kubických rovnic, teprve až později začala být používána také v rovnicích kvadratických.

Obecně se čísla, která mohou tvořit kořeny algebraických rovnic, nazývají algebraická čísla, jejich protipól tvoří transcendentní čísla. Algebraická čísla jsou podmnožinou komplexních čísel.

Podle tzv. základní věty algebry (viz kapitola X) pokrývá obor komplexních čísel všechna existující řešení algebraických rovnic.

Číselné obory – nekonečné, dvojsložkové:
  C - komplexní čísla a+bi, i = √-1
  A - kvadratická celá čísla a+b√d

Číslo a+bi se nazývá celé (racionální) komplexní číslo, když každé z čísel a,b je celé (racionální). Obdobně v případě a,b,d εZ říkáme číslům tvaru a+b√d kvadratická celá čísla . V případě, kdy a,b jsou stejné parity mohou mít kvadratická celá čísla také tvar (a+b√d)/2 (a,b,d εZ).

Vícesložková čísla

Komplexní čísla jsou - na rozdíl od všech dosud uvedených čísel - čísla dvojsložková. Po přidání prvku určeného x³−2 = 0 do oboru Q, můžeme všechna čísla přepsat na tvar a₀ + a₁x + a₂x². 

Např. x⁴+x³ +x²+x+1 = x³ (x+1)+ x²+x+1=2(x+1)+ x²+x+1= x²+3x+3 = [1,3,3].

Číselné obory – nekonečné, vícesložkové:
    Hamiltonovy kvaterniony
    K - Kummerova cyklická čísla α+bα+cα2+..

Úspěšnějším zobecněním komplexních čísel se ukázala být Kummerova cyklická (cyklotomická)  čísla f(α) =[a,b,c,..q]_k =a+bα+cα²+..qα^k−1,  kde α= .

Hodnoty α^j tvoří body na jednotkové kružnici v rovině komplexních čísel, dělí kružnici na k částí.(viz Binomická rovnice).

Kummerovi se podařilo pokračovat v Gaussově zobecnění – některé základní vztahy (dělitelnost, zákon reciprocity,…), které Gauss zobecnil a přenesl z oboru N do oboru C, posunul Kummer dále do oboru cyklických čísel K.

Číselné asociace

Jednotky

V oboru reálných čísel existují dvě jednotky: +1,−1, které rozdělují čísla do dvou hlavních skupin - na kladná a záporná. Čísla kladná se považují za primární, primárním tvarem daného čísla je jeho absolutní hodnota. V oboru komplexních čísel existují jednotky čtyři: +1,−1,+i,−i, tj. při zápisu do dvojic (a,b): (1,0),(−1,0),(0,1),(0,−1).Oba případy je možné sjednotit zavedením tzv. normy komplexního čísla N:

 N=a²+b² 

Komplexní číslo a+bi je jednotkou, když jeho norma má hodnotu 1. Velikostí komplexního čísla se rozumí druhá odmocnina z normy. U reálných čísel (a+bi, kde b=0) odpovídá velikost √a² absolutní hodnotě.

Pro sjednocení s kvadratickými čísly a+b√d je nutné výpočet normy pozměnit:

 N=a²−b²d 

Zde pro d=−1, tj. a+b√d=a+bi platí předchozí vztah. Takto odvozené jednotky kvadratických čísel vypadají přinemenším zvláštně, např. pro celá kvadratická čísla:

Číslo (9,4) je jednotkou mezi čísly tvaru a+b√5 protože N(9,4) = 9²−4²5 = 81−80 = 1.
V případě celých čísel (a+b√d)/2 je navíc nutné ještě počítat s alternativami N(a,b) = +4 a N(a,b) = −4, odkud vychází další sada jednotek.

Asociovaná a sdružená čísla

O všech číslech, která vzniknou z daného čísla z přenásobením jednotkami říkáme, že jsou vzájemně asociovaná. Asociovaných čísel je nejvýše tolik, kolik je jednotek:

·    V oboru reálných čísel jsou dvě jednotky: +1 a −1, každá dvě reálná čísla +a, −a jsou asociovaná.

·    V oboru komplexních čísel jsou jednotky čtyři: +1,−1,+i,−i. Asociovaná jsou všechna komplexní čísla a+bi, −a−bi, −b+ai, b−ai.

(číslo nula je asociováno samo se sebou, zvláštním případem

je také a=0, b=0 nebo a≡±b)

Obecně existuje osm různých čísel se stejnou normou: a+bi, −a−bi, −b+ai, b−ai, a−bi, −a+bi, −b−ai, b+ai. Čísla a+bi a a−bi se nazývají sdružená .

Vázaná čísla (čísla se stejnou normou) jsou všechna čísla asociovaná s dvěma sdruženými čísly a+bi i a−bi:

  Komplexně sdružená čísla 
───────────────────────── 
  a+bi  =>   a−bi  *
 −b+ai  =>  −b−ai  *  Asociovaná 
 −a−bi  =>  −a+bi  *  čísla 
  b−ai  =>   b+ai  *  

Norma komplexního čísla je součinem sdružených čísel a+bi a a−bi:

 N=a²+b²=(a+bi)(a−bi) 

Obdobně norma kvadratického čísla

 N=a²−b²d =(a+b√d)(a−b√d) 

Primární čísla

 V oboru reálných čísel je součin (i podíl) dvou primárních (tj. kladných) čísel vždy primární (kladné) číslo. Obdobný pokus - vyčlenit jednu skupinu ze čtyř asociovaných - u komplexních čísel selhává. Součin každých dvou primárních čísel by měl patřit do skupiny primárních čísel, primární čísla musí tvořit podgrupu (viz kapitola X) všech komplexních čísel. Takovou podgrupu je ale možné najít jen pro celá komplexní čísla a významu nabývá jen pro lichá čísla (Gauss,II). Gauss uvádí tyto dvě možnosti pro volbu primárních čísel  a+bi:

 Součin dvou čísel téhož tvaru (I/ nebo II/) tvar nemění.

Asociace cyklických čísel

   2  0  0  2  5
   0  2  2  0  5
  ──────────────
  10  0  0 10 25
   0  0  0  0  0
   0  4 10  4  0
   4 10  4  0  0
   0  0  0  0  0
  ──────────────
  14 14 14 14 25

Cyklická čísla se rovnají, když jsou jejich koefienty shodné, nebo se liší o konstantu:

 [a₀,a₁,a₂,..]=[a₀+c,a₁+c,a₂+c,..] 

Všechna cyklická čísla F=f(α), f(α²),.. f(α^k−1) jsou asociovaná, vždy existuje k−1 asociovaných cyklických čísel.

Norma cyklických čísel byla zavedena jako součin všech asociovaných čísel:

 N(F)= f(α) f(α²),.. f(α^k−1) 

Hodnotou normy je vždy celé číslo.

Např. norma čísla F=[2,1,0,0,0]_k se vypočítá:

N(F)=(α+2)(α²+2)(α³+2)(α⁴+2)=(2α⁴+2α+5)(2α³+2α²+5) N(F)= 14α⁴+ 14α³+ 14α²+ 14α + 25 = 11

Pro cyklická čísla [a,b,0,0,..]_k je možné výpočet normy zjednodušit:

 N(F)= (a^k+b^k)/(a+b) 

tj.v našem příkladě:

   N(F)= (2⁵+1⁵)/(2+1) = 33/3 = 11