Binomickou rovnicí nazýváme rovnici tvaru xk − 1 = 0. Řešení binomické rovnice tvoří dělitelé výrazu xk−1. Číslo k nazýváme řádem binomické rovnice . Když řád kεP, říkáme, že binomická rovnice je prostého řádu .
Exponentům u jednotlivých členů při zápisu čísel v číselné soustavě se říká řády. U polynomů je pro nejvyšší exponent zažitý pojem stupeň. Stejně bývá nazýván i exponent binomické rovnice. V kombinatorice se používá pojem třída (např. při uspořádání n prvků do k buněk, kterých je nk, se mluví o variacích k-té třídy). Dále se pokusíme alespoň částečně ujednotit terminologii označením exponentu (řádu systému, resp. stupně rovnice) písmenem k.
Komplexní kořeny binomické rovnice xk−1 = 0 leží v rovině komplexních čísel rovnoměrně rozestoupené na jednotkové kružnici.
Exponent Rovnice Kořeny xj/k pro j=0,1,..,(k−1) ─────────────────────────────────────────────────────── 1 x¹−1 = 0 xj/1 = cos 2π + isin 2π 2 x²−1 = 0 xj/2 = cos 2π∙j/2 + isin 2π∙j/2 3 x³−1 = 0 xj/3 = cos 2π∙j/3 + isin 2π∙j/3
Např. pro x³−1=0 existují 3 kořeny a tvoří rovnostranný
trojúhelník s vrcholy v bodech
1, −1/2+i√3/2 a −1/2−i√3/2
tj.: x0/3= 1,
x1/3=−1/2+i√3/2,
x2/3=−1/2−i√3/2.
Nultý kořen x0/k=1. Kořen α = x1/k nazýváme základní kořen (nebo také komplexní k-tá odmocnina z čísla 1). Na jednotkové kružnici svírá s osou x úhel 2π/k.
Exponent Základní kořeny α pro exponenty k=0,1,..,6 ──────────────────────────────────────────────────────── 1 α = cos 2π + isin 2π = +1 2 α = cos π + isin π = −1 3 α = cos 2π/3+ isin 2π/3 = −1/2+i√3/2 4 α = cos π/2 + isin π/2 = +i ... 6 α = cos π/3 + isin π/3 = +1/2+i√3/2
Mocniny kořenu x1/k postupně prochází celou kružnicí tj. všechny jsou mocninami základního kořenu, tj. každý xj/k(k) je j-tou mocninou kořenu α: xj/k=αj (pro j=0,1,..,k−1)
Pro x4−1=0 existují 4 kořeny a tvoří čtverec s vrcholy v bodech 1,i,−1 a −i, tj.:
x0/4= 1,
x1/4= i,
x2/4=−1 a
x3/4=−i.
To jsou tzv. komplexní jednotky (viz Komplexní systémy). Komplexní jednotky jsou mocninami základního kořenu α=x(1)=i: α0= 1, α1= i, α²=−1 a α³=−i.
Pro r=5,n=2 vzniká R-systém R(2,4,5) řádu 4:
R(2,4,5) Upravený R(2,4,5) Komplexní jednotky
0 0 0
1 2 4 3 1 2 −1 −2 1 i −1 −i
5 0 0
Vlastní instance systému R(2,4,5) jsou celočíselnou analogií
komplexních jednotek, tj. kořenů binomické rovnice x4−1=0 s
exponentem k=r−1=4.
Pro α=n je podle modulu r:
α0=1,
α1=2,
α2=4 a
α3=3.
| Cayley, Arthur [keili], 1821-1895, anglický matematik, zakladatel teorie matic, teorie invariantů a abstraktní teorie konečných grup. Zabýval se algebraickou geometrií, studoval n-dimenzionální prostory. Inspiroval použití kombinatoriky ve strukturní chemii. |
Operace nad konečnými množinami čísel se dají přehledně zobrazít pomocí tzv. Cayleyho tabulek. V záhlaví (vodorovném i svislém) jsou všechny prvky množiny a uvnitř tabulky výsledky operace mezi prvky záhlaví.
Tabulky pro sčítání (aditivní tabulky) označíme T(r,+), tabulky pro násobení čísel (multiplikativní tabulky) T(r,∙).
Např. Cayleyovy tabulky pro sčítání a násobení čísel v oboru zbytkových tříd Z3:
T(3,+) T(3,*) + │ 0 1 2 * │ 0 1 2 ──┼────── ──┼────── 0 │ 0 1 2 0 │ 0 0 0 1 │ 1 2 0 1 │ 0 1 2 2 │ 2 0 1 2 │ 0 2 1
V tabulce T(3,+) je 2+1 (mod 3) = 0,
v tabulce T(3,∙) 2∙2 (mod 3) = 1.
Tabulka, ve které existuje v každém řádku i sloupci neutrální prvek (jednotka) představuje tzv. grupu.
T(4,+) T(4,*) + │ 0 1 2 3 * │ 0 1 2 3 ──┼──────── ──┼──────── 0 │ 0 1 2 3 0 │ 0 0 0 0 1 │ 1 2 3 0 1 │ 0 1 2 3 2 │ 2 3 0 1 2 │ 0 2 0 2 3 │ 3 0 1 2 3 │ 0 3 2 1
Zbytkové třídy Zr tvoří grupu vzhledem ke sčítání, viz tabulka T(4,+).
Oproti tomu T(4,∙) grupou není (v řádku uvozeném dvojkou není nikde jednička...).
Grupa G je struktura s jednou asociativní operací, přičemž ke každému prvku x existuje inverzní prvek x' (x∙x'=1). Komutativní grupa je grupa s komutativní operací (tj. platí a∙b=b∙a pro všechny prvky a,b ε G). Komutativní grupy se také nazývají Abelovy, byly pojmenovány po N.H. Abelovi (ačkoliv on přesně tohoto konceptu neužíval).
Okruh O(4,+,∙) tvořený tabulkami T(4,+) a T(4,∙) nemůže být oborem integrity, protože T(4,∙) nemá inverzní prvek (viz Grupy). Okruh O(p,+,∙) tvoří těleso, když p je prvočíslo.
Libovolná (neprázdná) podmnožina prvků grupy se nazývá komplex . Stejně jako s prvky, můžeme provádět operace i s komplexy. Např. když a∙b=c, a∙c=d je a∙{b,c} = {c,d}.
| Borůvka, Otakar , 1899-1995, český matematik. Vybudoval teorii grupoidů a teorii rozkladů, založil významnou algebraickou školu. Do teorie grafů se zapsal algoritmem pro hledání minimální kostry grafu. Později se věnoval diferenciálním rovnicím. |
Jsou-li všechny jednotky na hlavní diagonále, je tabulka v normálním tvaru :
1 1 a 1 a b 1 a b c
a 1 b 1 a a 1 c b
a b 1 c b 1 a
b c a 1
Existuje jeden jediný redukovaný latinský čtverec řádu 1, 2 i 3. Každé dvě grupy, které mají 1,2 nebo 3 prvky jsou proto kopie.
Rovnice x−1 = 0
Triviální případ s řešením x=1 tvoří grupu řádu 1:
R1 κ3
1 1
Rovnice x²−1 = 0
Rovnice má dvě řešení x1=1, 2=−1,
tj.(x−1)(x+1)=x²−1. Platí
x1x1=x1,
x1x2=x2x1=x2 a
x2x2=x1, řešení utváří (permutační)
grupu řádu 2. Uspořádání kořenů odpovídá grupě kvadratických zbytků podle
modulu 5, grupě parit permutací, grupě jednotek v Z, a pod.
│ x1 x2 R2 κ5 Parita Jednotky
───┼─────────────────────────────────────────
x1 │ x1 x2 1 2 1 4 S L 1 −1
x2 │ x2 x1 2 1 4 1 L S −1 1
Rovnice x³−1 = 0
Rovnice má tři řešení x1=1, x2=(−1+i√3)/2,
x3=(−1−i√3)/2. Stejné uspořádání tvoří např. grupa
kvadratických zbytků podle modulu 7 (κ7, viz Kvadratické
zbytky).
Grupa jednotek 1,i,j zavedených podle vztahů i²=j,
j²=i a i³=j³=ij=ji=1. Grupa zákrytových
operací rovnostranného trojúhelníka (tj. grupa pootočení o úhel I=0°,
R=120°, S=240°).
│ x1 x2 x3 R3 κ7 Jednotky Z3+ Základní Zákryty ──┼──────── ────────────────────────────────────────────── x1│ x1 x2 x3 1 2 3 1 2 4 1 i j 0 1 2 1 α α² I R S x2│ x2 x3 x1 2 3 1 2 4 1 i j 1 1 2 0 α α² 1 R S I x3│ x3 x1 x2 3 1 2 4 1 2 j 1 i 2 0 1 α² 1 α S I R
Tabulky, které v žádném řádku ani sloupci neopakují stejné číslo se nazývají latinské čtverce.
Jsou-li v prvním řádku i sloupci čísla seřazena v přirozeném pořadí, nazývá se čtverec redukovaný.
Počet všech latinských čtverců je větší než 1!2!...k!, přičemž redukovaných čtverců Rk je vždy k!(k−1)! krát méně [Bosák].
Počet redukovaných čtverců Rk je pro k<8:
R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 ──────────────────────────────────── 1 1 1 4 56 9408 16942080
Známé jsou i některé další hodnoty (R8,R9,...).
Grupy řešení binomických rovnic řádu 1-3 odpovídají latinským čtvercům R1-R3.
Při hledání grupy řešení pro k=4 nastává první komplikace, latinské čtverce řádu 4 existují čtyři:
R4(a): 1234 R4(b): 1234 R4(c): 1234 R4(d): 1234
2143 2143 2341 2413
3412 3421 3412 3142
4321 4312 4123 4321
Tři latinské čtverce R4(b,c,d) jsou vzájemně převoditelné permutacemi prvků. Prvky těchto čtverců utvářejí jedinou tzv. rotační grupu.
Rovnice x4−1=0 , tj.(x−1)(x+1)(x²+1)=0 má čtyři řešení x1=1, x2=−1, x3=i a x3=−i. Struktura řešení odpovídá rotační grupě. Formu rotační grupy mají např. tyto matematické struktury:
Ve tvaru R4(b) rozpoznáme grupu násobení kvadratických zbytků a nezbytků (1,4,2,3) mod 5 a grupu násobení komplexních jednotek:
│ x1 x2 x3 x4 R4(2) K5 Jednotky
───┼─────────── ──────────────────────────────────
x1 │ x1 x2 x3 x4 1 2 3 4 1 4 2 3 1 −1 i −i
x2 │ x2 x1 x4 x3 2 1 4 3 4 1 3 2 −1 1 −i i
x3 │ x3 x4 x2 x1 3 4 2 1 2 3 4 1 i −i −1 1
x4 │ x4 x3 x1 x2 4 3 1 2 3 2 1 4 −i i 1 −1
· Ve tvaru R4(c) najdeme grupu rotací čtverce, grupu sčítání čísel v Z4, grupu zákrytových operací se čtvercem.
R4(3) Z4 + │ I A B C + │ I R R² R³ ─────────────────── ──┼───────── ──┼───────────── 1 2 3 4 0 1 2 3 I │ I A B C I │ I R R² R³ 2 3 4 1 1 2 3 0 A │ A B C I R │ R R² R³ I 3 4 1 2 2 3 0 1 B │ B C I A R²│ R² R³ I R 4 1 2 3 3 0 1 2 C │ C I A B R³│ R³ I R R²
1 2 3 4 2 4 1 3 3 1 4 2 4 3 2 1
Pro 4 možná pootočení I,A=R,B=R²,C=R³ I=0°, A=90°, B=180° a C=270° je operace skládání (např. A+B = C, tj.R∙R²=R³) asociativní i komutativní. Existuje neutrální prvek (I) a ke každému prvku X inverzní prvek X', pro který X+X'=I (např. A+C=I)...
· Ve tvaru R4(d) najdeme grupu násobení v Z5. Stejné schéma vytváří přirozené druhy v G(2,5) (viz Přirozené druhy).
Prvky {1,a,a²,a³..,} vytváří tzv. cyklickou grupu. Je-li grupa konečná, musí být v posloupnosti 1,a,a²,..,ak−1,1, .. znovu jednotkový prvek. Exponent k je řád grupy. V grupě řádu k je k-tá mocnina libovolného prvku jednotka grupy (tzv.Fermatovy věta pro grupy).
Každá podgrupa cyklické grupy je cyklická.
Existuje 56 latinské čtverců řádu 5.
R5: 12345 12345 12345 12345 ...
21453 21453 21453 21453
34512 34521 35124 35214
45231 45132 43512 43521
53124 53214 54231 54132
Všechny tyto čtverce vznikají permutacemi základních prvků.
Grupu řádu 5 tvoří např. zbytky podle modulu 11 (K11):
1 3 4 5 9 3 9 1 4 5 4 1 5 9 3 5 4 9 3 1 9 5 3 1 4
Binomická rovnice x5−1=0 má pět řešení, která v rovině
komplexních čísel tvoří pětiúhelník (viz Kořeny binomické rovnice).
Základním řešením je: x = cos 360°/5 + i∙sin 360/5° = cos 72° + i∙72°
Naším cílem je dostat se k tomuto výsledku pomocí odmocnin, bez použití goniometrických funkcí.
Rovnice M(x,5) = 0 má triviální kořen x=1, tedy (x4+x³+x²+x+1)(x−1) = 0.
Z prvního výrazu po vydělení x² je: (x²+x+1+1/x+1/x²) = 0. Když x+1/x=z tak x²+1/x² = z²−2.
Substitucí do původní rovnice dostaneme z²+z−1=0 a odtud dva kořeny pro z a čtyři kořeny pro x:
x0 =[1,0] x1 =[(−1+√5)/4, +√2∙√(5+√5)/4] x2 =[(−1−√5)/4, +√2∙√(5−√5)/4] x3 =[(−1−√5)/4, −√2∙√(5−√5)/4] x4 =[(−1+√5)/4, −√2∙√(5+√5)/4]
Kontrola: cos 72° = (-1+√5)/4 sin 72° = +√2*√(5+√5)/4
Platí:
· při označení x1=x je: g1 = x1+x4 = x1+x4 = [(−1+√5)/2,0] g2 = x²+x³ = x2+x3 = [(−1−√5)/2,0] tj. g1+g2 = x1+x²+x³+x4 = x1+x2+x3+x4 = −1
· kořeny x1,x4, resp. x2,x3, jsou symetrické podle osy y.
· kořeny x1,x2 jsou vázány goniometrickými vztahy: [cos 2x, sin 2x] = [cos² x− sin² x, 2∙sinx∙cosx].
Lagrange, Josepf Louis| Lagrange, Josepf Louis, Comte [lagránž], 1736-1813, italsko-francouzský matematik a fyzik, známý svým přínosem k rozvoji mechaniky a astronomie. Zabýval se teorií čísel, algebraickými a diferenciálními rovnicemi. Navrhl jednotný postup k řešení algebraických rovnic až do pátého stupně. Vyjádřil princip nejmenší akce ve tvaru integrálu, jenž musí mít minimum nebo maximum. Dokázal princip virtuálních prací a zapsal analyticky princip D'Alembertův. Předvedl speciální řešení problému tří těles. |
Protože (x−1)(x+1)=x²−1, vstupují do grupy rovnice
x4−1=0 řešení rovnice x²−1 = 0. Grupa řešení
rovnice x4−1=0 má proto podgrupu řádu 2.
Obecně platí, že řád každé podgrupy G(d) dělí řád grupy G(k). To je tzv.
Lagrangeova věta.
Neplatí ale obráceně, že ke každému děliteli d existuje nutně podgrupa G(d).
Výsledkem podílu k/d je tzv. index podgrupy.
Řád podgrupy d musí dělit řád grupy n, d | n. Když n=pεP, existují jen 2 podrupy - jednotková grupa a samotná grupa G. Tyto podgrupy se nazývají triviální.
Uvažujme Cayleyho tabulku T(r,∙), s neprvočíselným modulem, např. r=6 (pro úplnost doplníme do tabulky i číslo 0).
M(6) * │ 0 1 2 3 4 5 ──┼──────────── 0 │ 0 0 0 0 0 0 1 │ 0 1 2 3 4 5 2 │ 0 2 4 0 2 4 3 │ 0 3 0 3 0 3 4 │ 0 4 2 0 4 2 5 │ 0 5 4 3 2 1
M(2): M(3):
* │ 0 1 * │ 0 1 2
──┼──── ──┼──────
0 │ 0 0 0 │ 0 0 0
1 │ 0 1 1 │ 0 1 2
2 │ 0 2 1
Nabízí se představa, že tato čísla nepatří naší tabulce, ale byla do ní vnořena z tabulek příslušejících dělitelům čísla 6.
Je totiž {0,3} = (6/2)∙{0,1} a {0,2,4} = (6/3)∙{0,1,2},...
R6: 123456 123456 ... 214365 214365 345612 345612 436521 436521 561234 561243 652143 652134
Existuje 9408 latinských čtverců řádu 6.
Komutativní grupa kvadratických zbytků a nezbytků
1 2 4 3 6 5 1 a a² b ba ba²
2 4 1 6 5 3 a a² 1 ba ba² b
4 1 2 5 3 6 a² 1 a ba² b ba
3 6 5 2 4 1 b ba ba² a a² 1
Operace f(a,b) = a∙b (mod 7), pro a=2, b=3.
Grupa kvadratických zbytků K13
1 2 4 3 6 5 1 3 4 9 10 12 2 3 5 1 4 6 3 9 12 1 4 10 4 5 2 6 1 3 4 12 3 10 1 9 3 1 6 2 5 4 9 1 10 3 12 4 6 4 1 5 3 2 10 4 1 12 9 3 5 6 3 4 2 1 12 10 9 4 3 1
Zákrytové operace v trojúhelníku, D1,D2,D3 - překlopení podle os stran (úhlů), R - rotace. Plat í D1²=D2²=D3²=1 R³=1.
1 R R² D1 D2 D3 R R² 1 D3 D1 D2 R² 1 R D2 D3 D1 D1 D2 D3 1 R R² D2 D3 D1 R² 1 R D3 D1 D2 R R² 1
1 2 4 3 6 5 1 a a² b ba ba2 2 4 1 6 5 3 a a² 1 ba ba² b 4 1 2 5 3 6 a² 1 a ba² b ba 3 5 6 1 4 2 b ba² ba 1 a² a 6 3 5 2 1 4 ba b ba² a 1 a² 5 6 3 4 2 1 ba² ba b a² a 1
Pro aε K7 je f(a,b) = a∙b (horní polovina tabulky); resp. f(a,b) = a/b (dolní polovina tabulky).
Platí a³=b²=1, abab= 1 (tj. aba=b, ab=b/a, ab = ba²) .
Vlastní čísla T(6,*): * │ 0 1 2 3 4 5 ──┼──────────── 0 │ - - - - - - 1 │ - 1 - - - 5 2 │ - - - - - - 3 │ - - - - - - 4 │ - - - - - - 5 │ - 5 - - - 1
Generátory aditivní cyklické grupy Zn mohou být jen čísla nesoudělná s n.
Každá tabulka T(r,∙) má vždy jen φ(r) vlastních řádek a sloupců, ostatní řádky a sloupce jsou vnořené z tabulek s řády d(i)..., kde d(i) | r (číslo i probíhá dělitele čísla r).
Zatímco grupu (Z5,+) je možné generovat libovolným prvkem {1,2,3,4}) grupu (Z6,+) je možné generovat prvky 1 nebo 5.
Cyklická grupa řádu r má φ(r) generátorů. Cyklická grupa řádu r má tolik podgrup, kolik existuje (kladných) dělitelů čísla r. Když r=pk ...
Řádem kořenu xj nazýváme takové nejmenší číslo s, že platí xjs−1 = 0. Pro základní kořen je s=k (exponent binomické rovnice). Některé z ostatních kořenů mohou mít řád nižší. Při k=6 platí pro kořeny x0,..,x5: x0 = x16 = x2³ = x3² = x4³ = x56
Odtud řády (s) kořenů xj(6): Index kořenu j 0 1 2 3 4 5 Řád kořenu s 1 6 3 2 3 6
Obecně platí k | j∙s, tj. exponent binomické rovnice je dělitelem součinu čísla kořenu a jeho řádu (Viz základy patřící řádům.)
Označme Mh(x) součin všech a Vh(x) součin všech primitivních kořenů binomické rovnice xh−1 = 0. Kořeny představují "všechny instance", primitivní kořeny "vlastní instance" (ve smyslu zavedeném v odstavcích o G-systémech).
Všechny instance Vlastní instance (pro h=1..6) ──────────────────────────────────────────────── M1(x)=x−1 V1(x)=x−α1 = x−1 M2(x)=x²−1 V2(x)=x−α2 = x+1 M3(x)=x³−1 V3(x)=(x−α3)(x−α3²) =[x−(−1+i√3)/2]∙[x−(−1−i√3)/2]=x²+x+1 M4(x)=x4−1 V4(x)=(x−i)(x−i³) =(x−i)∙(x+i) = x²+1 M6(x)=x6−1 V6(x)=(x−α6)(x−α65)=[x−(1+i√3)/2]∙[x−(1−i√3)/2]=x²−x+1
Vztahy V2(x) = x+1=(x²−1)/(x−1), V3(x) = x²+x+1=(x³−1)/(x−1) dávají tušit, že pro pεP je počet "vlastních instancí": Vp(x) =(xp−1)/(x−1)
Když pεP tak se do Mp(x) = xp−1 vnořují jen instance ze systému řádu 1. Tyto vnořené instance eliminujeme dělením výrazem V1(x)=(x−1). Proto Vp(x) =Mp(x)/V1(x) = (xp−1)/(x−1).
Vlastní instance pro neprvočíselná h získáme obdobně vyčleněním všech vnořených systémů Md(x), d|h. Ze vztahů (x4−1) = (x²−1)(x²+1) = (x−1)(x+1)(x²+1) (x6−1) = (x³−1)(x³+1) = (x−1)(x²+x+1)(x+1)(x²−x+1)
plyne:
V4(x) = M4(x)/V1(x)/V2(x)=(x4−1)/(x−1)/(x+1)= x²+1
V6(x) = M6(x)/V1(x)/V2(x)/V3(x)
=(x6−1)/(x−1)/(x+1)/(x²+x+1)=x²−x+1
Obecně platí:
Z prvků C(2,4) vznikají 2 různé nekomutativní necyklické grupy řádu 8. První pro b² = 1 se nazývá diedrická a označuje se D8, druhá, tzv.kvaternionová, splňuje a² = b² a a označuje se Q8 [Procházka].
Kvaternionová grupa
b² = a², ab= ba³
(příklad pro a=2,b=3, mod 15)
1 2 4 8 3 6 12 9
2 4 8 1 9 3 6 12
4 8 1 2 12 9 3 6
8 1 2 4 6 12 9 3
3 6 12 9 4 8 1 2
9 3 6 12 2 4 8 1
12 9 3 6 1 2 4 8
6 12 9 3 8 1 2 4
Diedrická grupa
b² = 1 , ab= ba3
(příklad pro a=2,b=3, mod 15)
1 2 4 8 3 6 12 9
2 4 8 1 9 3 6 12
4 8 1 2 12 9 3 6
8 1 2 4 6 12 9 3
3 6 12 9 1 2 4 8
9 3 6 12 8 1 2 4
12 9 3 6 4 8 1 2
6 12 9 3 2 4 8 1
Alternativní (neasociativní, nekomutativní) algebrou je tzv. Cayleyova algebra.
Platí i²=j²=k²=e²=−1
1 i j k │ e ie je ke i −1 k −j │ ie −e −ke je j −k −1 i │ je ke −e −ie k j −i −1 │ ke −je ie −e ───────────────┼───────────────── e −ie −je −ke │ −1 i j k ie e −ke je │ −i −1 −k j je ke e −ie │ −j k −1 −i ke −je ie e │ −k −j i −1
Podgrupa Cayleyovy algebry je grupa pro násobení kvaternionů (kvadrant vlevo nahoře).