Binomické rovnice & grupy

Kořeny binomické rovnice

Binomická rovnice

Binomickou rovnicí nazýváme rovnici tvaru xk − 1 = 0. Řešení binomické rovnice tvoří dělitelé výrazu xk−1. Číslo k nazýváme řádem binomické rovnice . Když řád kεP, říkáme, že binomická rovnice je prostého řádu .

Exponentům u jednotlivých členů při zápisu čísel v číselné soustavě se říká řády. U polynomů je pro nejvyšší exponent zažitý pojem stupeň. Stejně bývá nazýván i exponent binomické rovnice. V kombinatorice se používá pojem třída (např. při uspořádání n prvků do k buněk, kterých je nk, se mluví o variacích k-té třídy). Dále se pokusíme alespoň částečně ujednotit terminologii označením exponentu (řádu systému, resp. stupně rovnice) písmenem k.

Rozložení kořenů

Komplexní kořeny binomické rovnice xk−1 = 0 leží v rovině komplexních čísel rovnoměrně rozestoupené na jednotkové kružnici.

 Exponent  Rovnice       Kořeny xj/k  pro j=0,1,..,(k−1)
 ───────────────────────────────────────────────────────
  1        x¹−1 = 0      xj/1 = cos 2π     + isin 2π     
  2        x²−1 = 0      xj/2 = cos 2π∙j/2 + isin 2π∙j/2
  3        x³−1 = 0      xj/3 = cos 2π∙j/3 + isin 2π∙j/3 

Např. pro x³−1=0 existují 3 kořeny a tvoří rovnostranný trojúhelník s vrcholy v bodech
1, −1/2+i√3/2 a −1/2−i√3/2
tj.:    x0/3= 1,   x1/3=−1/2+i√3/2,   x2/3=−1/2−i√3/2.

Základní kořen

Nultý kořen x0/k=1. Kořen α = x1/k nazýváme základní kořen (nebo také komplexní k-tá odmocnina z čísla 1). Na jednotkové kružnici svírá s osou x úhel 2π/k.

  Exponent   Základní kořeny α  pro exponenty k=0,1,..,6
   ────────────────────────────────────────────────────────
   1         α = cos 2π  + isin 2π      = +1
   2         α = cos π   + isin π       = −1
   3         α = cos 2π/3+ isin 2π/3    = −1/2+i√3/2
   4         α = cos π/2 + isin π/2     = +i
   ...
   6         α = cos π/3 + isin π/3     = +1/2+i√3/2

Mocniny kořenu x1/k postupně prochází celou kružnicí tj. všechny jsou mocninami základního kořenu, tj. každý xj/k(k) je j-tou mocninou kořenu α:   xj/kj (pro j=0,1,..,k−1)

Pro x4−1=0 existují 4 kořeny a tvoří čtverec s vrcholy v bodech 1,i,−1 a −i, tj.:

    x0/4= 1, 
    x1/4= i,
    x2/4=−1 a
    x3/4=−i.

To jsou tzv. komplexní jednotky (viz Komplexní systémy). Komplexní jednotky jsou mocninami základního kořenu α=x(1)=i:    α0= 1,   α1= i,    α²=−1  a  α³=−i.

Celočíselná analogie

Pro r=5,n=2 vzniká R-systém R(2,4,5) řádu 4:

   R(2,4,5)        Upravený R(2,4,5)    Komplexní jednotky
     0               0                    0
     1  2  4  3      1  2  −1  −2         1  i  −1  −i
     5               0                    0

Vlastní instance systému R(2,4,5) jsou celočíselnou analogií komplexních jednotek, tj. kořenů binomické rovnice x4−1=0 s exponentem k=r−1=4.
Pro α=n je podle modulu r:

     α0=1,
     α1=2,
     α2=4 a
     α3=3.
Cayley, Arthur
Cayley, Arthur [keili], 1821-1895, anglický matematik, zakladatel teorie matic, teorie invariantů a abstraktní teorie konečných grup. Zabýval se algebraickou geometrií, studoval n-dimenzionální prostory. Inspiroval použití kombinatoriky ve strukturní chemii.
Cayleyovy tabulky

Operace nad konečnými množinami čísel se dají přehledně zobrazít pomocí tzv. Cayleyho tabulek. V záhlaví (vodorovném i svislém) jsou všechny prvky množiny a uvnitř tabulky výsledky operace mezi prvky záhlaví.

Tabulky pro sčítání (aditivní tabulky) označíme T(r,+), tabulky pro násobení čísel (multiplikativní tabulky) T(r,∙).

Např. Cayleyovy tabulky pro sčítání a násobení čísel v oboru zbytkových tříd Z3:

T(3,+)        T(3,*)
+ │ 0 1 2     * │ 0 1 2
──┼──────     ──┼──────
0 │ 0 1 2     0 │ 0 0 0
1 │ 1 2 0     1 │ 0 1 2
2 │ 2 0 1     2 │ 0 2 1

V tabulce T(3,+) je 2+1 (mod 3) = 0,

v tabulce T(3,∙) 2∙2 (mod 3) = 1.

Group

Tabulka, ve které existuje v každém řádku i sloupci neutrální prvek (jednotka) představuje tzv. grupu.

T(4,+)         T(4,*)
+ │ 0 1 2 3     * │ 0 1 2 3
──┼────────     ──┼────────
0 │ 0 1 2 3     0 │ 0 0 0 0
1 │ 1 2 3 0     1 │ 0 1 2 3
2 │ 2 3 0 1     2 │ 0 2 0 2
3 │ 3 0 1 2     3 │ 0 3 2 1

Zbytkové třídy Zr tvoří grupu vzhledem ke sčítání, viz tabulka T(4,+).

Oproti tomu T(4,∙) grupou není (v řádku uvozeném dvojkou není nikde jednička...).

Grupa G je struktura s jednou asociativní operací, přičemž ke každému prvku x existuje inverzní prvek x' (x∙x'=1). Komutativní grupa je grupa s komutativní operací (tj. platí a∙b=b∙a pro všechny prvky a,b ε G). Komutativní grupy se také nazývají Abelovy, byly pojmenovány po N.H. Abelovi (ačkoliv on přesně tohoto konceptu neužíval).

Okruh O(4,+,∙) tvořený tabulkami T(4,+) a T(4,∙) nemůže být oborem integrity, protože T(4,∙) nemá inverzní prvek (viz Grupy). Okruh O(p,+,∙) tvoří těleso, když p je prvočíslo.

Libovolná (neprázdná) podmnožina prvků grupy se nazývá komplex . Stejně jako s prvky, můžeme provádět operace i s komplexy. Např. když a∙b=c, a∙c=d je a∙{b,c} = {c,d}.

Borůvka, Otakar
Borůvka, Otakar , 1899-1995, český matematik. Vybudoval teorii grupoidů a teorii rozkladů, založil významnou algebraickou školu. Do teorie grafů se zapsal algoritmem pro hledání minimální kostry grafu. Později se věnoval diferenciálním rovnicím.

Normální tvar tabulek

Jsou-li všechny jednotky na hlavní diagonále, je tabulka v normálním tvaru :

 1    1 a    1 a b     1 a b c
      a 1    b 1 a     a 1 c b
             a b 1     c b 1 a
                       b c a 1

Existuje jeden jediný redukovaný latinský čtverec řádu 1, 2 i 3. Každé dvě grupy, které mají 1,2 nebo 3 prvky jsou proto kopie.

Grupy řešení

Rovnice x−1 = 0
Triviální případ s řešením x=1 tvoří grupu řádu 1:

    R1     κ3
    1      1  

Rovnice x²−1 = 0
Rovnice má dvě řešení x1=1, 2=−1, tj.(x−1)(x+1)=x²−1. Platí x1x1=x1, x1x2=x2x1=x2 a x2x2=x1, řešení utváří (permutační) grupu řádu 2. Uspořádání kořenů odpovídá grupě kvadratických zbytků podle modulu 5, grupě parit permutací, grupě jednotek v Z, a pod.

      │ x1 x2       R2   κ5     Parita    Jednotky
   ───┼─────────────────────────────────────────
   x1 │ x1 x2       1 2    1 4     S L      1 −1
   x2 │ x2 x1       2 1    4 1     L S     −1  1

Rovnice x³−1 = 0
Rovnice má tři řešení x1=1, x2=(−1+i√3)/2, x3=(−1−i√3)/2. Stejné uspořádání tvoří např. grupa kvadratických zbytků podle modulu 7 (κ7, viz Kvadratické zbytky).
Grupa jednotek 1,i,j zavedených podle vztahů i²=j, j²=i a i³=j³=ij=ji=1. Grupa zákrytových operací rovnostranného trojúhelníka (tj. grupa pootočení o úhel I=0°, R=120°, S=240°).

   │ x1 x2 x3   R3     κ7     Jednotky Z3+  Základní Zákryty
 ──┼────────  ──────────────────────────────────────────────
 x1│ x1 x2 x3   1 2 3  1 2 4   1 i j   0 1 2   1 α α²   I R S
 x2│ x2 x3 x1   2 3 1  2 4 1   i j 1   1 2 0   α α² 1   R S I
 x3│ x3 x1 x2   3 1 2  4 1 2   j 1 i   2 0 1   α² 1 α   S I R

Latinské čtverce

Tabulky, které v žádném řádku ani sloupci neopakují stejné číslo se nazývají latinské čtverce.

Jsou-li v prvním řádku i sloupci čísla seřazena v přirozeném pořadí, nazývá se čtverec redukovaný.

Počet všech latinských čtverců je větší než 1!2!...k!, přičemž redukovaných čtverců Rk je vždy k!(k−1)! krát méně [Bosák].

Počet redukovaných čtverců Rk je pro k<8:

   R1  R2  R3   R4   R5    R6     R7
   ────────────────────────────────────
   1   1   1   4    56   9408  16942080 

Známé jsou i některé další hodnoty (R8,R9,...).

Grupy řešení binomických rovnic řádu 1-3 odpovídají latinským čtvercům R1-R3.

Rotační grupa

Při hledání grupy řešení pro k=4 nastává první komplikace, latinské čtverce řádu 4 existují čtyři:

 R4(a): 1234  R4(b): 1234  R4(c): 1234  R4(d): 1234
        2143         2143         2341         2413
        3412         3421         3412         3142
        4321         4312         4123         4321

Tři latinské čtverce R4(b,c,d) jsou vzájemně převoditelné permutacemi prvků. Prvky těchto čtverců utvářejí jedinou tzv. rotační grupu.

Rovnice x4−1=0 , tj.(x−1)(x+1)(x²+1)=0 má čtyři řešení x1=1, x2=−1, x3=i a x3=−i. Struktura řešení odpovídá rotační grupě. Formu rotační grupy mají např. tyto matematické struktury:

   Ve tvaru R4(b) rozpoznáme grupu násobení kvadratických zbytků a nezbytků (1,4,2,3) mod 5 a grupu násobení komplexních jednotek:

      │ x1 x2 x3 x4    R4(2)     K5         Jednotky
   ───┼───────────  ──────────────────────────────────
   x1 │ x1 x2 x3 x4    1 2 3 4   1 4 2 3    1 −1  i −i
   x2 │ x2 x1 x4 x3    2 1 4 3   4 1 3 2   −1  1 −i  i
   x3 │ x3 x4 x2 x1    3 4 2 1   2 3 4 1    i −i −1  1  
   x4 │ x4 x3 x1 x2    4 3 1 2   3 2 1 4   −i  i  1 −1

· Ve tvaru R4(c) najdeme grupu rotací čtverce, grupu sčítání čísel v Z4, grupu zákrytových operací se čtvercem.

  R4(3)      Z4           + │ I A B C    + │ I  R  R² R³
  ───────────────────     ──┼─────────   ──┼─────────────
   1 2 3 4    0 1 2 3     I │ I A B C    I │ I  R  R² R³
   2 3 4 1    1 2 3 0     A │ A B C I    R │ R  R² R³ I
   3 4 1 2    2 3 0 1     B │ B C I A    R²│ R² R³ I  R
   4 1 2 3    3 0 1 2     C │ C I A B    R³│ R³ I  R  R²
 1 2 3 4
 2 4 1 3
 3 1 4 2
 4 3 2 1

Pro 4 možná pootočení I,A=R,B=R²,C=R³ I=0°, A=90°, B=180° a C=270° je operace skládání (např. A+B = C, tj.R∙R²=R³) asociativní i komutativní. Existuje neutrální prvek (I) a ke každému prvku X inverzní prvek X', pro který X+X'=I (např. A+C=I)...

·    Ve tvaru R4(d) najdeme grupu násobení v Z5. Stejné schéma vytváří přirozené druhy v G(2,5) (viz Přirozené druhy).

Cyklické grupy

Prvky {1,a,a²,a³..,} vytváří tzv. cyklickou grupu. Je-li grupa konečná, musí být v posloupnosti 1,a,a²,..,ak−1,1, .. znovu jednotkový prvek. Exponent k je řád grupy. V grupě řádu k je k-tá mocnina libovolného prvku jednotka grupy (tzv.Fermatovy věta pro grupy).

Každá podgrupa cyklické grupy je cyklická.

Grupy řádu 5

Existuje 56 latinské čtverců řádu 5.

   R5:  12345   12345   12345   12345  ...   
        21453   21453   21453   21453        
        34512   34521   35124   35214        
        45231   45132   43512   43521        
        53124   53214   54231   54132     

Všechny tyto čtverce vznikají permutacemi základních prvků.

Grupu řádu 5 tvoří např. zbytky podle modulu 11 (K11): 

  1 3 4 5 9
  3 9 1 4 5
  4 1 5 9 3
  5 4 9 3 1
  9 5 3 1 4   

Rovnice 5-tého stupně

Binomická rovnice x5−1=0 má pět řešení, která v rovině komplexních čísel tvoří pětiúhelník (viz Kořeny binomické rovnice).

Základním řešením je:    x = cos 360°/5 + i∙sin 360/5° = cos 72° + i∙72°

Naším cílem je dostat se k tomuto výsledku pomocí odmocnin, bez použití goniometrických funkcí.

Rovnice M(x,5) = 0 má triviální kořen x=1, tedy (x4+x³+x²+x+1)(x−1) = 0.

Z prvního výrazu po vydělení x² je: (x²+x+1+1/x+1/x²) = 0. Když x+1/x=z tak x²+1/x² = z²−2.

Substitucí do původní rovnice dostaneme z²+z−1=0 a odtud dva kořeny pro z a čtyři kořeny pro x:

  x0 =[1,0]
  x1 =[(−1+√5)/4, +√2∙√(5+√5)/4]
  x2 =[(−1−√5)/4, +√2∙√(5−√5)/4]
  x3 =[(−1−√5)/4, −√2∙√(5−√5)/4]
  x4 =[(−1+√5)/4, −√2∙√(5+√5)/4]
 Kontrola:
 cos 72° = (-1+√5)/4
 sin 72° = +√2*√(5+√5)/4

Platí:

·    při označení x1=x je:   g1 = x1+x4 = x1+x4 = [(−1+√5)/2,0]   g2 = x²+x³ = x2+x3 = [(−1−√5)/2,0]   tj. g1+g2 = x1+x²+x³+x4 = x1+x2+x3+x4 = −1

·   kořeny x1,x4, resp. x2,x3, jsou symetrické podle osy y.

·   kořeny x1,x2 jsou vázány goniometrickými vztahy: [cos 2x, sin 2x] = [cos² x− sin² x, 2∙sinx∙cosx].

Lagrange, Josepf Louis
Lagrange, Josepf Louis, Comte [lagránž], 1736-1813, italsko-francouzský matematik a fyzik, známý svým přínosem k rozvoji mechaniky a astronomie. Zabýval se teorií čísel, algebraickými a diferenciálními rovnicemi. Navrhl jednotný postup k řešení algebraických rovnic až do pátého stupně. Vyjádřil princip nejmenší akce ve tvaru integrálu, jenž musí mít minimum nebo maximum. Dokázal princip virtuálních prací a zapsal analyticky princip D'Alembertův. Předvedl speciální řešení problému tří těles.

Vnořování kořenů

Lagrangeova věta

Protože (x−1)(x+1)=x²−1, vstupují do grupy rovnice x4−1=0 řešení rovnice x²−1 = 0. Grupa řešení rovnice x4−1=0 má proto podgrupu řádu 2.
Obecně platí, že řád každé podgrupy G(d) dělí řád grupy G(k). To je tzv. Lagrangeova věta.

Neplatí ale obráceně, že ke každému děliteli d existuje nutně podgrupa G(d).

Výsledkem podílu k/d je tzv. index podgrupy.

Řád podgrupy d musí dělit řád grupy n, d | n. Když n=pεP, existují jen 2 podrupy - jednotková grupa a samotná grupa G. Tyto podgrupy se nazývají triviální.

Vnořování grup

Uvažujme Cayleyho tabulku T(r,∙), s neprvočíselným modulem, např. r=6 (pro úplnost doplníme do tabulky i číslo 0).

M(6) 
  * │ 0 1 2 3 4 5
  ──┼────────────
  0 │ 0 0 0 0 0 0
  1 │ 0 1 2 3 4 5
  2 │ 0 2 4 0 2 4
  3 │ 0 3 0 3 0 3
  4 │ 0 4 2 0 4 2
  5 │ 0 5 4 3 2 1
Všimněme si, že v řádku i sloupci tabulky T(6,∙) se vyskytují pro prvek r/2=3 jen dvě čísla: 0 a 3. V řádcích a sloupcích vedle najdeme tři čísla: 0,2 a 4.

M(2):          M(3):
  * │ 0 1       * │ 0 1 2
  ──┼────       ──┼──────
  0 │ 0 0       0 │ 0 0 0
  1 │ 0 1       1 │ 0 1 2
                2 │ 0 2 1

Nabízí se představa, že tato čísla nepatří naší tabulce, ale byla do ní vnořena z tabulek příslušejících dělitelům čísla 6.

Je totiž {0,3} = (6/2)∙{0,1} a {0,2,4} = (6/3)∙{0,1,2},...

Komutativní grupy řádu 6

R6: 
  123456 123456 ...
  214365 214365
  345612 345612
  436521 436521
  561234 561243
  652143 652134

Existuje 9408 latinských čtverců řádu 6.

Komutativní grupa kvadratických zbytků a nezbytků

      1 2 4  3 6 5     1    a    a²   b    ba   ba²     
      2 4 1  6 5 3     a    a²  1     ba   ba² b
      4 1 2  5 3 6     a²  1    a     ba² b    ba
      3 6 5  2 4 1     b    ba   ba²  a    a²  1

Operace f(a,b) = a∙b (mod 7), pro a=2, b=3.

Grupa kvadratických zbytků K13

 1 2 4  3 6 5       1  3  4   9 10 12
 2 3 5  1 4 6       3  9 12   1  4 10
 4 5 2  6 1 3       4 12  3  10  1  9
 3 1 6  2 5 4       9  1 10   3 12  4
 6 4 1  5 3 2      10  4  1  12  9  3
 5 6 3  4 2 1      12 10  9   4  3  1

Nekomutativní grupa permutací

Zákrytové operace v trojúhelníku, D1,D2,D3 - překlopení podle os stran (úhlů), R - rotace. Plat í    D1²=D2²=D3²=1 R³=1.

  1  R  R²   D1 D2  D3
  R  R² 1    D3 D1  D2
  R² 1  R    D2 D3  D1
  D1 D2 D3    1  R  R²
  D2 D3 D1    R² 1  R
  D3 D1 D2    R  R² 1  
錐۔Ұ    

錐۔쉸m뷠ٷŠYǻ錐۔Ұ

錐۔쉸m蟐ٷ¦Bú錐۔鶀ۓ錐۔䠀Q赸Ɲ錐۔䠀Q챘Q╠ٹ赸Ɲ╼ٹ錐۔骠ۓt錐۔麰Ɨt錐۔Ұ錐۔Ұ錐۔Ұ錐۔Ұ

錐۔쉸m냨ٷ–7Ĵ錐۔Ұ

錐۔Ұ

 1 2 4   3 6 5    1   a   a²    b   ba  ba2
 2 4 1   6 5 3    a   a²  1     ba  ba² b
 4 1 2   5 3 6    a²  1   a     ba² b   ba
 3 5 6   1 4 2    b   ba² ba    1   a²  a
 6 3 5   2 1 4    ba  b   ba²   a   1   a²
 5 6 3   4 2 1    ba² ba  b     a²  a   1

Pro aε K7 je f(a,b) = a∙b  (horní polovina tabulky);  resp. f(a,b) = a/b (dolní polovina tabulky).

Platí a³=b²=1, abab= 1 (tj. aba=b, ab=b/a, ab = ba²) .

Generátory cyklické grupy

Vlastní čísla T(6,*):
 * │ 0 1 2 3 4 5
 ──┼────────────
 0 │ - - - - - -
 1 │ - 1 - - - 5
 2 │ - - - - - -
 3 │ - - - - - -
 4 │ - - - - - -
 5 │ - 5 - - - 1

Generátory aditivní cyklické grupy Zn mohou být jen čísla nesoudělná s n.

Každá tabulka T(r,∙) má vždy jen φ(r) vlastních řádek a sloupců, ostatní řádky a sloupce jsou vnořené z tabulek s řády d(i)..., kde d(i) | r (číslo i probíhá dělitele čísla r).

Zatímco grupu (Z5,+) je možné generovat libovolným prvkem {1,2,3,4}) grupu (Z6,+) je možné generovat prvky 1 nebo 5.

Cyklická grupa řádu r má φ(r) generátorů. Cyklická grupa řádu r má tolik podgrup, kolik existuje (kladných) dělitelů čísla r. Když r=pk ...

Řády kořenů

Řádem kořenu xj nazýváme takové nejmenší číslo s, že platí xjs−1 = 0. Pro základní kořen je s=k (exponent binomické rovnice). Některé z ostatních kořenů mohou mít řád nižší. Při k=6 platí pro kořeny x0,..,x5:     x0 = x16 = x2³ = x3² = x4³ = x56

Odtud řády (s) kořenů xj(6):         Index kořenu j  0  1  2  3  4  5    Řád kořenu s    1  6  3  2  3  6

Obecně platí k | j∙s, tj. exponent binomické rovnice je dělitelem součinu čísla kořenu a jeho řádu (Viz základy patřící řádům.)

Primitivní kořeny

Označme Mh(x) součin všech a Vh(x) součin všech primitivních kořenů binomické rovnice xh−1 = 0. Kořeny představují "všechny instance", primitivní kořeny "vlastní instance" (ve smyslu zavedeném v odstavcích o G-systémech).

  Všechny instance    Vlastní instance (pro h=1..6)
  ────────────────────────────────────────────────
  M1(x)=x−1      V1(x)=x−α1 = x−1
  M2(x)=x²−1     V2(x)=x−α2 = x+1
  M3(x)=x³−1     V3(x)=(x−α3)(x−α3²) =[x−(−1+i√3)/2]∙[x−(−1−i√3)/2]=x²+x+1
  M4(x)=x4−1     V4(x)=(x−i)(x−i³) =(x−i)∙(x+i) = x²+1
  M6(x)=x6−1     V6(x)=(x−α6)(x−α65)=[x−(1+i√3)/2]∙[x−(1−i√3)/2]=x²−x+1

Vztahy V2(x) = x+1=(x²−1)/(x−1), V3(x) = x²+x+1=(x³−1)/(x−1) dávají tušit, že pro pεP je počet "vlastních instancí":    Vp(x) =(xp−1)/(x−1)

Princip vnořování

Když pεP tak se do Mp(x) = xp−1 vnořují jen instance ze systému řádu 1. Tyto vnořené instance eliminujeme dělením výrazem V1(x)=(x−1). Proto Vp(x) =Mp(x)/V1(x) = (xp−1)/(x−1).

Vlastní instance pro neprvočíselná h získáme obdobně vyčleněním všech vnořených systémů Md(x), d|h. Ze vztahů   (x4−1) = (x²−1)(x²+1) = (x−1)(x+1)(x²+1)   (x6−1) = (x³−1)(x³+1) = (x−1)(x²+x+1)(x+1)(x²−x+1)

plyne:
             V4(x) = M4(x)/V1(x)/V2(x)=(x4−1)/(x−1)/(x+1)= x²+1
             V6(x) = M6(x)/V1(x)/V2(x)/V3(x)
                                =(x6−1)/(x−1)/(x+1)/(x²+x+1)=x²−x+1

Obecně platí:

 Mh(x) = ∏Vd(x) (pro d≤h) 

Grupy řádu 8

Z prvků C(2,4) vznikají 2 různé nekomutativní necyklické grupy řádu 8. První pro b² = 1 se nazývá diedrická a označuje se D8, druhá, tzv.kvaternionová, splňuje a² = b² a a označuje se Q8 [Procházka].

Kvaternionová grupa 
    b² = a², ab= ba³
 (příklad pro a=2,b=3, mod 15)
  1 2 4 8 3 6 12 9
  2 4 8 1 9 3 6 12
  4 8 1 2 12 9 3 6
  8 1 2 4 6 12 9 3
  3 6 12 9 4 8 1 2
  9 3 6 12 2 4 8 1
  12 9 3 6 1 2 4 8
  6 12 9 3 8 1 2 4
 Diedrická grupa
    b² = 1 , ab= ba3
 (příklad pro a=2,b=3, mod 15)
  1 2 4 8 3 6 12 9
  2 4 8 1 9 3 6 12
  4 8 1 2 12 9 3 6
  8 1 2 4 6 12 9 3
  3 6 12 9 1 2 4 8
  9 3 6 12 8 1 2 4
  12 9 3 6 4 8 1 2
  6 12 9 3 2 4 8 1
Cayleyova algebra

Alternativní (neasociativní, nekomutativní) algebrou je tzv. Cayleyova algebra.

Platí i²=j²=k²=e²=−1

   1   i   j   k  │  e  ie  je   ke
   i  −1   k  −j  │ ie  −e  −ke  je
   j  −k  −1   i  │ je  ke  −e  −ie
   k   j  −i  −1  │ ke  −je ie  −e
   ───────────────┼───────────────── 
   e  −ie −je −ke │ −1   i   j   k
   ie  e  −ke  je │ −i  −1  −k   j 
   je  ke  e  −ie │ −j   k  −1  −i
   ke −je  ie  e  │ −k  −j   i  −1

Podgrupa Cayleyovy algebry je grupa pro násobení kvaternionů (kvadrant vlevo nahoře).