Rezonance

Úvod

Lineární rezonance

Soustava period Ti rezonuje, jestliže existují taková celá čísla a(i), že platí:

|∑ai/Ti| < α

kde i=1..n, α je nějaké malé číslo. Hodnota 1/α je perioda: T = (T1/a1,T2/a2,T3/a3,...) = 1/(a1/T1+a2/T2+a3/T3...) = 1/α

Např. pro periody J=11.862 a S=29.457 let při a1=2, a2=-5 dostaneme: α = 2/J -5/S = 0.001133, tj. T =1/α = (J/2,S/5) = 883 let.

Řád rezonance

Řádem lineární rezonance se obvykle rozumí číslo:

k= ∑|ai|

Tedy např. poměr 2:1 je řádu 3, 3:2 řádu 5 a 4:3 řádu 7. Tato definice řádu rezonance je jednoduchá, slouží spíše jen pro orientaci.

K posouzení kvality resonance nestačí (viz porovnání s hudbou – kvalita hudebních intervalů apod.)

Rezonance a hudební teorie

Zatímco hudba postrádá gravitační zákon (vazba citlivých tónů je ale obdobou gravitační vazby …), předchází výzkum hudebních jednoduchých poměrů (konsonantních intervalů a soustav ladění,…) astronomii o kus cesty. V hudebních rezonancích mají zvláštní význam násobky čísla 2 (oktávová identita). Vylaďováním učitých poměrů se jiné rozlaďují (ladění je vždy určitý kompromis). Hudba je střídáním stabilních (rezonančních) a nestabilních (dočasných, chaotických) útvarů. Hudební systémy (např. 12-ti tónový) jsou postaveny tak, aby stabilní útvary mohly vznikat.

Typy rezonancí podle period

Nechť P je označení planety nebo planetky a M měsíce; P, M jsou orbitální periody, Pr, Mr rotační periody.

Podle kombinace P,Pr,M a Mr rozlišíme 10 typů rezonancí.

Příklady typů rezonancí

Nelineární rezonance

Nelineární rezonance závisí nejen na periodách, ale také na amplitudách dílčích pohybů.

Rezonance oběžných dob

Rezonance oběžných dob

Nejjednodušším případem rezonance je celočíselný poměr dvou oběžných period:

P/Q = n

Triviálním případem rezonance tohoto typu je rezonance 1:1, např.:

Typy uspořádání

Pozorované poměry oběžných dob rozdělíme podle typů uspořádání:


Nejlehčí těleso uvnitř

2/1: Ganymedes/Europa, Tethys/Mimas, Dione/Enceladus 4/1: Země/Merkur, Ganymed/Io


Nejlehčí těleso vně

2/1: Europa/Io 3/1: Uran/Saturn, 3/2: Pluto/Neptune 4/1: Deimos/Phobos, 4/3: Hyperion/Titan 5/1: Iapetus/Titan, 5/2: Saturn/Jupiter 7/3: Kallisto/Ganymedes, 8/5: Toro/Země, 14/9: Oberon/Titania, …


Existenci jednoduchých poměrů ve Sluneční soustavě analyzoval A.M.Molčanov (r.1968) použitím statistické analýzy. S.F.Dermott (r.1969) se pokusil vyjádřil poměry oběžných period celými čísly. Podle Molčanova se libovolný nelineárně kmitající systém se dostane do synchronizovaného režimu pohybů (v důsledku evoluce) i při působení velmi slabých vazeb.

Rezonance s oběžnou periodou

V některých případech je pohyb jednoho tělesa tak výrazný, že zcela ovládá pohyb jiného tělesa Například Jupiter ovlivňuje pohyb tisíců planetek a komet.

Nechť P,Q jsou siderické periody dvou těles. Rozlišujeme 2 případy:

(Q,P) = r∙P

A/

Odtud P/Q = (r+1)/r. Např. pro P=J a Q=A, kde J je perioda Jupitera a A perioda asteroidu, viz dále v kapitole Působení Jupitera.

Pro celočíselné r neexistují stabilní kruhové dráhy (H.Scholl). Eliptické dráhy mohou být stabilní i nestabilní (J.D.Hadjidemetriou).

(Q,P) = P/r

B/

Odtud P/Q = r+1.

Stáčení rezonanční přímky

c_reson

Celočíselné poměry se v poměru period (těles Sluneční soustavy) zpravidla nerealizují přesně, cykly jsou obvykle modulovány jinými cykly. Tento složitější případ bývá zahrnován pod pojmem sekulární rezonance.

V případě pohybu 2 oběžnic okolo centra bývají rozlišovány dva typy rezonancí:

Má-li jedno z těles výraznější excentricitu, nastává tzv.rezonance excentricity (např. v párech Enceladus-Dione, Titan-Hyperion, asteroid Hilda-Jupiter)

má-li výraznější sklon objevuje se tzv.rezonance sklonu (např. Mimas-Tethys).

Oba typy (včetně jejich možné kombinace) se zdají být jen různým projevem téhož principu: konjunkce těles nastávají vždy poblíž bodu, kdy jsou příslušné oběžné dráhy nejvzdálenější.

Rezonance excentricity

Rozumí se excentricity dráhy, nazývaná též rezonance typu e:

I= (Q/q,P/p) = (P,Pa)


Symboly P,Q značí siderické periody, Pa je perioda anomalistická, (P,Pa) perioda stáčení přímky apsid.

Perioda nerovnosti I je shodná s periodou stáčení eliptické dráhy (přímky apsid) jednoho (zpravidla menšího) tělesa.

Konjunkce nastávají v místech největší možné vzdálenosti těles.

1/ poblíž pericentra vnitřního tělesa:

Enceladus - Dione (1:2)
(1.370218 dní/1, 2.736915 dní/2) = -1065.087 dní).
asteroidy skupiny Hildy - Jupiter (2:3)

2/ poblíž apocentra vnějšího tělesa:

Titan - Hyperion (3:4)Neptun - Pluto (2:3)

(Během 64 dní oběhne Titan 4x a Hyperion 3x, jejich konjunkční přímka se stáčí s periodou cca 18 let.)

Rezonance sklonu

Rozumí se sklonu dráhy, nazývaná též rezonance typu i:

I= (Q/q,P/p) = [(P,Pn),(Q,Qn)]


Symboly P,Q značí siderické periody, Pn,Qn periody drakonické. (P,Pn) a (Q,Qn) jsou periody stáčení uzlových přímek, [(P,Pn),(Q,Qn)] perioda pohybu jejich osy.

Perioda nerovnosti I je shodná s osovou periodou uzlových přímek.

Tělesa se potkávají co nejdále od průsečnice rovin svých drah.

Mimas - Tethys (1:2): Obě tělesa se pohybují po drahách skloněných více než 1° s malou excentricitou (Tethys prakticky po kružnici).
(0.9424218 dní, 1.887802 dní/2)= -[-0.98468,-4.9841] let = 1.645 let
Jupiter - asteroid Tule (4:3). Velký sklon drah asteroidů.

Laplaceova rezonance

Laplace Pierre Simon de
Laplace Pierre Simon de , [laplas] 1749-1827, francouzský matematik, fyzik, astronom a politik známý svým zpracováním nebeské mechaniky. Snažil se vytvořit obecnou teorii mechaniky, která popíše pohyb nebeských těles včetně všech anomálií. Zasáhl do matematické analýzy a teorie pravděpodobnosti, Navrhl intergrální transformaci diferenciálních rovnic a pravděpodobnostní metodu výpočtu, dnes známou pod pojmem "Monte Carlo". Zavedl vytvořující funkce. Je autorem hypotézy o vzniku sluneční soustavy z rotující mlhoviny (Kantova-Laplacova teorie).

V případě 3 oběžnic je nejvýraznějším projevem tzv. Laplaceova rezonance (Io-Europa-Ganymed, Miranda-Ariel-Umbriel). V tomto případě nedochází nikdy ke konjunkci všech tří těles zároveň. (Obdobnou souvztažností se zdá být vázána i rotace Venuše k oběžným dobám Venuše a Země.)

Laplaceova rezonance

Nechť P,Q,R jsou siderické periody tří těles a p,q,r celá čísla.

Tzv. synchronizační (Laplaceova) resonance je určena vztahem:

I= (Q/q,P/p) = R/r

Rezonance narušuje pravidelný pohyb měsíců. Silné ovlivňování měsíců působí obtíže ve výpočtech (Wargentin, Lagrange,Laplace, Souillart).


Zvláštní případ: r=1, p=q-1. Tj. 1/R-q/Q+(q-1)/P = 0 a odtud (R,Q/(q-1)) = (Q,P/(q-1)) a (Q,P) = q∙(R,P) kde q>1.

Při q=1 jde o triviální rezonanci 2 těles. Pro q=3 rezonance měsíců Io,Europa a Ganymed

1/I-3/E+2/G=0

Perioda nerovnosti I dvou těles je celočíselným dělitelem orbitální periody třetího tělesa.

Tělesa se vyhýbají vzájemně, např:

Io-Europa-Ganymed (q=3) 1/I-3/E+2/G=0 Miranda-Ariel-Umbriel (q=3) 1/M-3/A+2/U=0 Rotace Venuše-Venuše-Země (q=5) 1/Vr-5/V+4/E=0

(Zvláštní případ - jedna perioda je rotační.)

Jiné rezonance

Rezonance Uranových měsíců

V soustavě měsíců Uranu (Miranda - Ariel -Umbriel - Titania) se objevuje dvakrát obdobný vztah (nestabilní rezonance):

4/P-8/Q+3/R=0

1/ pro Mirandu,Ariel a Titanii (M/4,-A/8,T/3) 2/ pro Ariel, Umbriel a Titanii (A/4,-U/8,T/3).

Obdobný vztah platí také pro Zemi, Mars a Jupiter (E/4,-R/8,J/3) ≈ 1782 let.

Mocninná rezonance

Resonanční podmínka v magnetické smyčce: ω = sqrt (ωa² + ωb²)
Tedy, nechť 1/f(A,B) = 1/f(A) - 1/f(B), kde P' = f(P) = sqrt(p)

   (V,E) = 13.227 let 
   (E,R) = 13.633 let 
   (V',-E'/2,R') = 0
   (R,S) = 3.3678 let 
   (V,R) = 3.357 let
   (J,S) = 88.830 let (J,U) = 30.438 let 
   (J,N) = 22.157 let (S,U) =177.050 let 
   (S,N) = 88.420 let 
   (J',-S',N') = 0

Stabilní rezonance

c_stable Lineární rezonance je považována za stabilní, když

∑ai = 0

(ve smyslu předchozího označení). Mějme n-period Pi: {P0, P1,..., Pn} v soustavě P. Pro pozorovatele ze soustavy Q, jejíž perioda pohybu vzhledem k soustavě P je M, se tyto periody jeví jako (Pi,M), tj. {(P0,M), (P1,M)..., (Pn,M)}.

Synodické periody pozorované ze soustavy Q jsou stejné jako synodické periody pozorované uvnitř P:

((Pi,M),(Pj,M)) = (Pi, Pj)

(Totéž neplatí pro periody osové).

Pro libovolné konstanty a(i) je

∑ai/(Pi,M) = ∑ai/Pi – (∑ai)/M.

V případě stabilní rezonance ∑ai/M= 0 dostaneme:

∑ai/(Pi,M) = ∑ai/Pi

tedy stabilní rezonance je nezávislá na volbě vztažné soustavy.

Například periodu H rezonance 1/J-3/S+1/U+1/N = 1/H naměří také pozorovatel pohybující se s libovolnou periodou M (vzhledem k hvězdám): 1/(J,M)-3/(S,M)+1/(U,M)+1/(N,M) = 1/H, protože 1/J-3/S+1/U+1/N je stabilní (1-3+1+1=0).

Triviálním případem stabilní rezonance je synodická "rezonance" 1/P-1/Q=0, 1-1=0 (pro P=Q).

Příklady stabilních rezonancí

např. (J,-S/2,U) (J,-S/3,U/2) (J/2,-S/3,U) tj. 1/J-2/S+1/U, 1/J-3/S+2/U, 2/J-3/S+1/U, ...

1813.55, 1830.63, 1847.74, 1864.84, 1881.92, 1898.99, 1916.05, 1933.12, 1950.21, 1967.28, 1984.38

K synchronizaci konjunkcí by muselo platit: 17/E-33/R+16/S=0 (rázy cca 415 let).

Rezonance inverzního pohybu

Perioda H

Rozdíl (L S-LU ) a -(L S-LN ) je d = L S-LU+LS-LN = 2∙L S-LU-LN = 2∙(J,S)/S -(J,S)/U-(J,S)/N = (J,S)∙(2/S-1/U-1/N).
Odchylka od plného úhlu za čas (J,S): (1-d) = 1 - (J,S)∙(2/S-1/U-1/N).

Za 1 rok: h = (1-d)/(J,S) = 1/(J,S) - (2/S-1/U-1/N) = 1/J-1/S-2/S+1/U+1/N = 1/J-3/S+1/U+1/N.

Tedy

1/H = 1/J-3/S+1/U+1/N

Ve stupních:

 d∙360° = 19.859∙(2/29.457-1/84.020-1/164.770)∙360° = 0.991433 ∙ 360° = 356.916°
 (1-d)∙360° = -3.084° (= 157.601° - 160.685°)
 h∙360° = -3.084° /19.859 let  =  0.1553°/rok.
 h = 0.1553/360 = 0.00043139 plných úhlů / rok.
 
 Perioda H:
    H = 1/h = 1/0.00043139 = 2318.1 let.

Svět synodických period

Konjunkce

Představme si fiktivní svět, v němž vlastní pohyb těles není vidět a kde je možné vnímat jen okamžiky konjunkcí a měřit synodické periody. Např. můžeme slyšet klapnutí (AB) při konjunkci dvou těles (A a B); při konjunkci tří těles (A,B,C) tři klapnutí (AB, AC, a BC). (Podobně jako vnímali svět astronomové v minulosti...)

Tento náš svět, je určován jen vzájemnými vztahy mezi periodami a nemá žádný přímý odraz v pohybu okolo centra.

Kdybychom mohli vztahy chápat jako diference, dostali bychom jakousi "derivaci" skutečného světa. V analogii můžeme dokonce pokračovat dále: např. perioda ((A,B),(C,D)) je odvozena již ze synodických period, je tedy druhého řádu. (Příslušný svět je "druhou derivací" našeho původního světa...).

Jednoduché poměry

Pohyb pozorovatele ve fiktivním světě synodických period nemoduluje vlastní orbitální periody, ale periody synodické.

Nechť H je perioda stabilní rezonance, 1/H=1/J-3/S+1/U+1/N (cca 2320 let). Pozorovatel pohybující se s touto periodou ve synodickém světě (druhého řádu) naměří následující hodnoty pro ((J,S),(S,N)),((J,S),(U,N)) a ((J,U),(U,N))

  1/((J,S),(S,N))-1/H = 1/J-2/S+1/N-1/H      = 1/S-1/U = 1/(S,U)
  1/((J,S),(U,N))-1/H = 1/J-1/S-1/U+1/N-1/H  = 2/S-2/U = 2/(S,U)
  1/((J,U),(U,N))-1/H = 1/J-2/U+1/N-1/H      = 3/S-3/U = 3/(S,U)

Tedy pro tohoto pozorovatele platí:

1/((J,U),(U,N)) : 1/((J,S),(U,N)) : 1/((J,S),(S,N)) = 1 : 2 : 3

Koordinace

Rezonanční poměr orbitálních period Uranu a Neptuna je 1:2 (N/U =1.961); perioda nerovnosti I = (U, N/2), přibližně 4200 let.
Pozorovatel pohybující se s periodou I naměří periody vnějších planet J',S',U',N':

 1/J' = 1/J-2/N+1/U = 11.8953 let
 1/S' = 1/S-2/N+1/U = 29.6636 let
 1/U' = 1/U-2/N+1/U = 2/U-2/N = 85.722 let
 1/N' = 1/N-2/N+1/U = 1/U-1/N = 171.444 let

Pro tohoto pozorovatele bude N':U' přesně 2/1. Poměr S'/J' je přibližně 5:2 a U'/S' přibližně 3:1.
Perioda nerovnosti J-S: (S'/5,J'/2) = 2362 let a perioda nerovnosti S-U: (U'/3,S'/1)= 778 let.
Hodnota periody H (1/H = 1/J-3/S+1/U+1/N) zůstává stejná: H = 2320 let.

Siderické periody vnějších planet splňují rovnici:

3/J-8/S-2/U+7/N = 0

 Pro synodické periody:
  1/H = 1/(J,S)-2/(S,U)-1/(U,N)
  3/H = 4/(U,N)-1/(S,U)
  5/H = 9/(U,N)-1/(J,S)
  7/H = 4/(J,S)-9/(S,U)
 Obecně m2/P-n2/Q = k/H, tedy P∙Q/(Q∙m2-P∙n2) = H/k.
 Pro srovnání Bohrova kvantizace atomů: 
  1/T = c∙R∙(1/m2-1/n2)

Náš pozorovatel proto zjistí:
5/S'-2/J'=1/H (=5/S-2/J+3/U-6/N=1/J-3/S+1/U+1/N)
3/U'-1/S'=3/H (=5/U-4/N-1/S =3/J-9/S+3/U+3/N)

Platí:

1/H = 1/J- 3/S+1/U+1/N 3/H = -1/S+5/U-4/N 5/H = -1/J+1/S+9/U-9/N 7/H = 4/J-13/S+9/U

Průběh rezonance

Hodnota L = 3LJ-8LS)-(2LU-7LN), kde LJ,LS,LU,LN jsou délky (longitudy) planet ve vybraných okamžicích osciluje okolo 120˚:

LH = 3LJ -8LS+2LU-7LN ~ 120˚

V konjunkcích J-S je (3LJ-8LS)/5 = LJ = LS, v konjunkcích U-N je (2LU-7LN)/5 = LU = LN.

Opozice J-U
Rok 3 LJ[˚] 8 LS [˚] 2 LU [˚] 7 LN [˚]

(3LJ-8LS)-(2LU-7LN) [˚]

1810,46 124 230 83 309 254 – 134 = 120
1824,28 322 139 215 157 183 - 58 = 125
1838,09 141 51 334 7 90 – 327 = 123
1851,90 300 320 80 219 340 – 221 = 119
1865,70 98 229 185 73 229 – 113 = 116
1879,52 272 142 302 287 131 - 15 = 116
1893,33 108 49 72 142 58 – 290 = 128
1907,15 306 325 204 356 341 – 208 = 133
1920,97 127 230 325 208 257 – 116 = 141
1934,77 287 146 72 59 142 - 13 = 129
1948,58 84 49 176 268 35 – 269 = 127
1962,39 257 326 291 115 291 – 176 = 115
1976,21 91 230 61 323 221 - 97 = 123
1990,02 290 148 193 172 142 - 21 = 121
2003,84 113 52 315 22 61 – 293 = 128
2017,65 275 328 63 234 307 – 189 = 118
2031,45 71 233 167 88 198 - 80 = 118
2045,26 242 146 281 302 95 – 339 = 116
2059,08 74 55 50 157 19 – 253 = 126
2072,90 274 326 183 11 307 – 172 = 136
2086,71 98 238 306 223 220 - 83 = 138

Vnitřní planety

Pokusme se vyhledat nějakou periodu h, která by mohla mít pro vnitřní planety obdobný význam jako perioda H pro planety vnější.

Perioda h

Nechť h je např. perioda stabilní rezonance, 1/h = 1/M-4/V+2/E+1/R (cca 5.504 let). Pozorovatel pohybující se s touto periodou (ve světě synodických period 2, řádu) naměří následující hodnoty pro ((M,V),(V,R)),((M,V),(E,R)) a ((M,E),(E,R)):

  1/((M,V),(V,R))-1/h = 1/M-2/V+1/R-1/h     = 2/V-2/E = 2/(V,E)
  1/((M,V),(E,R))-1/h = 1/M-1/V-1/E+1/R-1/h = 3/V-3/E = 3/(V,E)
  1/((M,E),(E,R))-1/h = 1/M-2/E+1/R-1/h     = 4/V-4/E = 4/(V,E)

Tedy pro tohoto pozorovatele platí:

1/((M,V),(V,R)) : 1/((M,V),(E,R)) : 1/((M,E),(E,R)) = 2 : 3 : 4